[论文解读] Open Conjectures on Congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 54被引用 79

一句话总结

本文提出了100个关于二项式系数乘积和模高次幂素数的超同余猜想，涉及模形式、超几何级数以及L-函数的特殊值。此外，还包含20个近期已证实的猜想，其中许多涉及拉马努金型π级数和广义卡塔兰数，部分猜想为证明提供奖金奖励。

ABSTRACT

We collect here various conjectures on congruences made by the author in a series of papers, some of which involve binary quadratic forms and other advanced theories. Part A consists of 100 unsolved conjectures of the author while conjectures in Part B have been recently confirmed. We hope that this material will interest number theorists and stimulate further research. Number theorists are welcome to work on those open conjectures; for some of them we offer prizes for the first correct proofs.

研究动机与目标

• 整理并呈现100个关于二项式系数乘积和模高次幂素数的未解超同余猜想。
• 研究超同余、L-函数特殊值与模形式之间的深层联系。
• 探索超同余与π相关级数、伯努利数与欧拉数、调和和之间的关联。
• 为选定猜想的首个正确证明提供奖金激励，特别是涉及素数复杂算术条件的猜想。
• 记录并确认近期解决的涉及超几何级数和广义卡塔兰数的猜想。

提出的方法

• 提出形如 $\sum_{k=0}^{p-1} a_k / m^k \mod p^a $ 的猜想，其中 $ a_k $ 涉及二项式系数的乘积。
• 使用 $ p $-进赋值和 $ p $-进 $ \Gamma $-函数分析模 $ p^2 $、$ p^3 $ 及更高次幂的同余式。
• 应用高斯和与雅可比和、超几何级数及模形式的恒等式，推导出求和式的结构约束。
• 利用生成函数和通过 $ [x^n]P(x) $ 提取系数的方法，研究序列的算术性质。
• 利用已知的伯努利数与欧拉数、调和数及卢卡斯序列的结果，指导并检验猜想。
• 使用高级组合恒等式和符号计算确认部分猜想，并由独立研究人员（如 Guillera、Sun、Hessami Pilehrood）进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ p \equiv 1 \mod 7 $ 且 $ p = x^2 + 7y^2 $ 时，$ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 \mod p^2 $ 的精确 $ p^2 $-同余是什么？
• RQ2 当 $ p = x^2 + 7y^2 $ 时，和式 $ \sum_{k=0}^{p-1} k \binom{2k}{k}^3 \mod p $ 是否存在以 $ x $ 和 $ y $ 表示的闭式表达？
• RQ3 能否通过超同余技术证明恒等式 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(11k-3)64^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = 8\pi^2 $？
• RQ4 对于哪些整数 $ n > 1 $，同余式 $ \sum_{k=0}^{n-1} (21k+8)\binom{2k}{k}^3 \equiv 8n \mod n^4 $ 蕴含素性？
• RQ5 对于所有素数 $ p > 3 $，同余式 $ \sum_{k=0}^{(p-1)/2} (205k^2 + 160k + 32)(-1)^k \binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + \frac{896}{3}p^5 B_{p-3} \mod p^6 $ 是否成立？

主要发现

• 猜想 A1 关于 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 \mod p^2 $ 在 $ (\frac{p}{7}) = -1 $ 时已被证实，但在 $ (\frac{p}{7}) = 1 $ 时仍为开放问题，提供70美元奖金以奖励证明。
• 基于 Ali 和 Mishutka 的猜测，猜想 $ \sum_{k=0}^{p-1} k \binom{2k}{k}^3 \mod p $ 在 $ p = x^2 + 7y^2 $ 时应为 $ \frac{32}{3}y^2 \mod p $。
• 猜想 B15 已被证实：$ \sum_{k=1}^\infty \frac{(11k-3)64^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = 8\pi^2 $，将一个超几何级数与 $ \pi^2 $ 联系起来。
• 猜想 B16 已被证实：当 $ p = x^2 + 2y^2 $ 时，和式 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}{k}}{128^k} \equiv (-1)^{\lfloor(p+5)/8\rfloor}(2x - p/(2x)) \mod p^2 $。
• 猜想 B18 已被证实：对于 $ p > 5 $，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} (205k^2 + 160k + 32)(-1)^k \binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + 64p^3 H_{p-1} \mod p^7 $。
• 猜想 B19(i) 已被证实：$ \sum_{k=1}^\infty \frac{(15k-4)(-27)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{k}{3})}{k^2} $，将一个超几何级数与一个狄利克雷特征和联系起来。