[论文解读] Open Graphs and Monoidal Theories

Lucas Dixon, Aleks Kissinger|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了开放图（open-graphs）——一种用于有单oidal范畴中弦图的离散、有限的形式系统——通过使用带有未连接边的类型图来表示输入和输出。通过将开放图嵌入到类型图中，利用选择性黏着函子，实现了类型安全、组合式的双推导重写，支持在对称单oidal范畴、PROPs以及一般单oidal理论中进行机械化推理。

ABSTRACT

String diagrams are a powerful tool for reasoning about physical processes, logic circuits, tensor networks, and many other compositional structures. The distinguishing feature of these diagrams is that edges need not be connected to vertices at both ends, and these unconnected ends can be interpreted as the inputs and outputs of a diagram. In this paper, we give a concrete construction for string diagrams using a special kind of typed graph called an open-graph. While the category of open-graphs is not itself adhesive, we introduce the notion of a selective adhesive functor, and show that such a functor embeds the category of open-graphs into the ambient adhesive category of typed graphs. Using this functor, the category of open-graphs inherits "enough adhesivity" from the category of typed graphs to perform double-pushout (DPO) graph rewriting. A salient feature of our theory is that it ensures rewrite systems are "type-safe" in the sense that rewriting respects the inputs and outputs. This formalism lets us safely encode the interesting structure of a computational model, such as evaluation dynamics, with succinct, explicit rewrite rules, while the graphical representation absorbs many of the tedious details. Although topological formalisms exist for string diagrams, our construction is discreet, finitary, and enjoys decidable algorithms for composition and rewriting. We also show how open-graphs can be parametrised by graphical signatures, similar to the monoidal signatures of Joyal and Street, which define types for vertices in the diagrammatic language and constraints on how they can be connected. Using typed open-graphs, we can construct free symmetric monoidal categories, PROPs, and more general monoidal theories. Thus open-graphs give us a handle for mechanised reasoning in monoidal categories.

研究动机与目标

• 为单oidal理论中的弦图提供一种离散、有限且可计算的形式系统。
• 通过引入一种有限、可判定的图形推理框架，解决拓扑形式系统的局限性。
• 通过选择性黏着函子保持输入输出接口，确保重写过程中的类型安全。
• 通过在开放图上应用双推导重写，实现在单oidal范畴中的机械化推理。
• 通过图形签名将该构造推广至自由对称单oidal范畴、PROPs以及更广泛的单oidal理论。

提出的方法

• 将开放图定义为带有未连接边以表示输入和输出的类型图。
• 定义从开放图到类型图范畴的选择性黏着函子，继承足够的黏着性以支持双推导重写。
• 使用图形签名定义顶点和边的类型及其连接约束，支持类型化组合。
• 在类型开放图上构造模边同胚的余链（cospans），以形成自由对称单oidal范畴。
• 应用双推导重写以确保类型安全和规则的组合式重写。
• 引入边同胚规则以建模导线结构的拓扑等价性，类似于拓扑中的同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将弦图形式化为支持安全、组合式重写的离散有限结构？
• RQ2 尽管开放图缺乏完全黏着性，何种范畴结构能够支持其上的双推导重写？
• RQ3 如何利用图形签名对开放图进行参数化，并在单oidal理论中强制实施类型约束？
• RQ4 开放图能否以完全可机械化的方式用于构造自由对称单oidal范畴和PROPs？
• RQ5 如何在保持接口一致性的同时组合和操作重写规则？

主要发现

• 开放图被形式化为一个范畴，并通过选择性黏着函子嵌入到类型图中，从而实现具有类型安全的双推导重写。
• 该构造支持组合式重写：可在分解后的组件上并行执行重写，并正确地重新组合。
• 边同胚规则允许导线结构的拓扑等价性，提供了对拓扑同胚的离散类比。
• 基于图形签名的类型开放图可生成自由对称单oidal范畴和PROPs，可推广至更丰富的单oidal理论。
• 该框架是有限且可判定的，支持在软件工具中实现以进行自动化推理。
• 该方法为在单oidal范畴的图形语言中应用Knuth-Bendix化简和临界对分析提供了基础。