[论文解读] Open Markov Processes and Reaction Networks

Blake S. Pollard|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Gene Regulatory Network Analysis被引用 3

一句话总结

本论文构建了一个用于开放马尔可夫过程与反应网络的范畴论框架，表明非平衡稳态最小化一个二次耗散函数——与普里高津的最小熵产生原理密切相关。该研究引入了一个黑箱化函子，将开放系统映射为边界概率与流之间的线性关系，从而通过范畴论与梯度流结构实现对复杂系统的组合式分析。

ABSTRACT

We define the concept of an `open' Markov process, a continuous-time Markov chain equipped with specified boundary states through which probability can flow in and out of the system. External couplings which fix the probabilities of boundary states induce non-equilibrium steady states characterized by non-zero probability currents flowing through the system. We show that these non-equilibrium steady states minimize a quadratic form which we call `dissipation.' This is closely related to Prigogine's principle of minimum entropy production. We bound the rate of change of the entropy of a driven non-equilibrium steady state relative to the underlying equilibrium state in terms of the flow of probability through the boundary of the process. We then consider open Markov processes as morphisms in a symmetric monoidal category by splitting up their boundary states into certain sets of `inputs' and `outputs.' Composition corresponds to gluing the outputs of one such open Markov process onto the inputs of another so that the probability flowing out of the first process is equal to the probability flowing into the second. We construct a `black-box' functor characterizing the behavior of an open Markov process in terms of the space of possible steady state probabilities and probability currents along the boundary. The fact that this is a functor means that the behavior of a composite open Markov process can be computed by composing the behaviors of the open Markov processes from which it is composed. We prove a similar black-boxing theorem for reaction networks whose dynamics are given by the non-linear rate equation. Along the way we describe a more general category of open dynamical systems where composition corresponds to gluing together open dynamical systems.

研究动机与目标

• 通过范畴论建立开放马尔可夫过程的组合式分析框架，实现对非平衡系统的模块化分析。
• 证明开放马尔可夫过程中非平衡稳态最小化一个二次耗散函数，从而与普里高津的最小熵产生原理建立联系。
• 构建一个黑箱化函子，将开放马尔可夫过程映射为边界概率与电流之间线性关系，保持组合性。
• 通过证明稳态行为可通过半代数关系捕捉，将该框架扩展至反应网络，推广组合式方法。
• 探索在复杂平衡反应网络中是否存在类似的变分原理，建立自由能与梯度流结构之间的联系。

提出的方法

• 将开放马尔可夫过程定义为具有边界态的连续时间马尔可夫链，其中概率可流入与流出。
• 使用主方程建模时间演化，详细平衡态满足细致平衡条件。
• 引入‘耗散’概念，作为非平衡稳态在外部边界条件下最小化的二次型。
• 构建一个开放马尔可夫过程的对称单幕范畴，其中组合对应于输出与输入的粘合，张量积对应于并行组合。
• 定义一个从开放马尔可夫过程到线性关系范畴（LinRel）的黑箱化函子，将每个系统映射为其边界行为（概率与电流）。
• 利用带装饰的余链与函子组合，将该框架推广至具有非线性速率方程的开放动力系统与反应网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持其动力学行为的方式组合开放马尔可夫过程？何种范畴结构支持这一过程？
• RQ2 开放马尔可夫过程中非平衡稳态的变分原理是什么？其与熵产生和耗散有何关联？
• RQ3 开放反应网络的行为能否通过组合式黑箱化函子系统描述？这与稳态浓度与流量有何关系？
• RQ4 在接近平衡的非平衡马尔可夫过程中，相对熵、自由能与耗散之间有何关系？
• RQ5 是否存在一个自然的范畴论框架，用于复杂平衡反应网络，使其支持类似于详细平衡马尔可夫过程的变分原理？

主要发现

• 开放马尔可夫过程中非平衡稳态最小化一个二次耗散函数，该函数在接近平衡时近似于熵产生率。
• 黑箱化函子将每个开放马尔可夫过程映射为边界概率与电流的线性子空间，确保复合系统的性能是其各部分的组合。
• 对于详细平衡的马尔可夫过程，其稳态行为可通过函子K映射至电路系统，此类系统的黑箱化结果在LinRel中形成线性关系。
• 相对熵作为马尔可夫过程的李雅普诺夫函数，随时间减少，并在接近平衡区域近似于耗散。
• 开放主方程可表示为关于耗散函数的梯度流，其梯度通过涉及平衡分布的度量定义。
• 通过一个映射至半代数关系的函子，建立了开放反应网络的一般框架，将组合式方法从线性系统推广至非线性速率方程。