[论文解读] Open $r$-spin theory II: The analogue of Witten's conjecture for $r$-spin disks

Alexandr Buryak, Emily Clader+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 8

一句话总结

本文通过在带边界的黎曼曲面的模空间上定义开 $r$-自连通数，建立了 genus zero 的开 $r$-自连通理论。证明了这些数的生成函数与 $r$ 阶 Gelfand–Dickey 可积系统波函数相关，提供了 Witten 的 $r$-自连通猜想的开理论类比，并揭示了开与闭 $r$-自连通理论之间出人意料的联系。

ABSTRACT

We conclude the construction of $r$-spin theory in genus zero for Riemann surfaces with boundary. In particular, we define open $r$-spin intersection numbers, and we prove that their generating function is closely related to the wave function of the $r$th Gelfand-Dickey integrable hierarchy. This provides an analogue of Witten's $r$-spin conjecture in the open setting and a first step toward the construction of an open version of Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory. As an unexpected consequence, we establish a mysterious relationship between open $r$-spin theory and an extension of Witten's closed theory.

研究动机与目标

• 在带边界的黎曼曲面中完成 genus zero 的 $r$-自连通理论的构建。
• 将开 $r$-自连通不变量作为闭 $r$-自连通不变量的推广，定义开 $r$-自连通交截数。
• 建立一个与可积系统相关的开 $r$-自连通不变量的生成函数。
• 提供 Witten 的 $r$-自连通猜想的第一个开理论类比。
• 揭示开 $r$-自连通理论与闭 $r$-自连通理论扩展之间的神秘关系。

提出的方法

• 作者定义了带边界和内部标记点的加权 $r$-自连通圆盘的模空间 $\overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{0,k,\vec{a}}$。
• 他们在该模空间上构造了开 Witten 线丛 $\mathcal{W}$ 与余切线丛 $\mathbb{L}_1,\ldots,\mathbb{L}_l$。
• 通过在虚拟基本类 $c_W$ 上对 $\psi$-类进行积分，定义了开 $r$-自连通交截数。
• 生成函数 $F^{\frac{1}{r},o}$ 被构造为变量 $t^{a}_d$ 与 $s$ 的形式幂级数，分别追踪内部与边界上的标记点。
• 关键技术工具是使用一致的多值截面和在带角的轨道丛上进行加权零点计数，以定义虚拟周期。
• 通过波函数建立了与 $r$ 阶 Gelfand–Dickey 层次的关系，表明 $\exp(F^{\frac{1}{r},o})$ 与该层次的波函数相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 genus zero 的带边黎曼曲面，开 $r$-自连通交截数的正确定义是什么？
• RQ2 开 $r$-自连通不变量的生成函数如何与可积系统相关？
• RQ3 是否存在 Witten 的 $r$-自连通猜想的自然开理论类比？
• RQ4 能否通过边界模空间上的虚拟周期一致地构建开 $r$-自连通理论？
• RQ5 开 $r$-自连通理论与闭 $r$-自连通理论之间是否存在出人意料的关系？

主要发现

• 开 $r$-自连通交截数的生成函数被证明与 $r$ 阶 Gelfand–Dickey 可积系统的波函数密切相关。
• 该构造提供了 Witten 的 $r$-自连通猜想的第一个开理论类比，将闭理论推广至带边曲面。
• 发现了开 $r$-自连通理论与闭 $r$-自连通理论扩展之间神秘的关系，暗示了更深层的几何联系。
• 通过在带角的轨道丛上使用一致的多值截面和加权零点计数，开 $r$-自连通交截数被明确定义。
• 虚拟基本类 $c_W$ 通过全纯 $r$-自连通线丛的首个直接像的对偶的上顶上同调类定义。
• 该结果将开 KdV 情况（$r=2$）推广至更高 $r$，在更广泛的框架下统一了开理论与可积系统。