[论文解读] Open string with a background B-field as the first order mechanics and noncommutativity

Alexei A. Deriglazov, C. Neves+1 more|ArXiv.org|Oct 19, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文将具有恒定B场的开弦表述为一个一阶力学系统，以傅里叶模为动力学变量，从而可直接应用狄拉克约束哈密顿量量子化方法，无需近似。关键结果是零模非对易性是内在的，源于混合边界条件，且可通过正则变换消除边界非对易性——这证实了非对易与对易杨-米尔斯理论之间的塞伯格-威滕对偶性。

ABSTRACT

To study noncommutativity properties of the open string with constant B-field we construct a mechanical action which reproduces classical dynamics of the string sector under consideration. It allows one to apply the Dirac quantization procedure for constrained systems in a direct and unambiguous way. The mechanical action turns out to be the first order system without taking the strong field limit $B\longrightarrow\infty$. In particular, it is true for zero mode of the string coordinate which means that the noncommutativity is intrinsic property of this mechanical system. We describe the arbitrariness in the relation existent between the mechanical and the string variables and show that noncommutativity of the string variables on the boundary can be removed. It is in correspondence with the result of Seiberg and Witten on relation among noncommutative and ordinary Yang-Mills theories.

研究动机与目标

• 使用从傅里叶模导出的力学变量，为具有背景B场的开弦提供一致的哈密顿量表述。
• 在不修改标准方法的前提下，直接应用狄拉克约束系统量子化程序，避免先前方法中的模糊性。
• 阐明弦坐标中非对易性的起源，特别是D膜边界处的非对易性。
• 证明D膜上的非对易性可通过正则变换消除，与塞伯格-威滕等价性一致。
• 建立一个系统框架，将力学变量与弦坐标关联，同时保持完整的动力学与约束。

提出的方法

• 将弦坐标 $ x^i(\tau, \sigma) $ 傅里叶分解为力学变量 $ c_n^i(\tau) $，包括零模 $ c_0^i $，以将场论重述为力学系统。
• 从原始弦作用量 (1) 推导 $ c_n^i $ 的运动方程，表明由于混合边界条件导致一阶时间演化。
• 构造一个能重现所推导动力学的力学作用量，从而可直接应用狄拉克方法处理约束系统。
• 对力学系统应用狄拉克程序，识别第一类约束并计算狄拉克括号，确保量子化过程无歧义。
• 将结果以原始弦坐标形式重表达，以恢复哈密顿量表述并计算非对易括号。
• 利用相空间结构（括号与哈密顿量选择）的自由度，证明通过适当的正则变换可消除D膜上的非对易性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不借助人为修改，直接使用标准狄拉克约束方法对具有B场的开弦进行一致的量子化？
• RQ2 非对易性为何在弦坐标中出现，特别是在D膜边界处？它是内在特征还是可消除的？
• RQ3 零模 $ c_0^i $ 在生成非对易性中起什么作用？为何其时间导数为一阶？
• RQ4 通过正则变换在多大程度上可消除弦坐标中的非对易性？这与塞伯格-威滕对偶性有何关联？
• RQ5 相空间结构（括号与哈密顿量）的选择如何影响系统中非对易性的物理解释？

主要发现

• 由于混合边界条件，从具有B场的开弦导出的力学系统本质上是一阶时间导数系统，即使在强场极限 $ B \to \infty $ 之外也成立。
• 零模坐标 $ c_0^i $ 相互正则共轭，导致内在非对易性 $ \{c_0^i, c_0^j\}_D = -E^{ij} \neq 0 $，这并非正则化的人为结果。
• 弦坐标在体和边界处均表现出非对易性，边界非对易性为 $ \{x^i(\tau,0), x^j(\tau,0)\}_D = -\left(1 + \frac{1}{2\pi\alpha'}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 f_n}\right)(B^{-1})^{ij} $。
• 通过选择 $ f_n = \frac{\pi^2}{3(2\pi\alpha')^3} $ 及适当的矩阵 $ E $、$ A $，可完全消除D膜上的非对易性，得到一个对易的D膜平面。
• 所得哈密顿量表述与塞伯格-威滕结果一致：$ \{x^i, x^j\}_D = -(2\pi\alpha')^2(1 - 2i\pi\alpha' B)^{-1} B (1 + 2i\pi\alpha' B)^{-1} $，证实了与对易杨-米尔斯理论的对偶性。
• 该系统的相空间结构允许多种通过正则变换等价的表述形式，表明非对易性并非唯一，而是与对易描述物理等价。