[论文解读] Open strings, Lagrangian conductors and Floer functor

Jean-Yves Welschinger|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 15

一句话总结

本文在半正则辛流形中引入了一个从拉格朗日子丛到有界开弦链复形的同伦范畴的弗洛尔函子，使得在第一陈类为零时，拉格朗日子球面可定义积分弗洛尔上同调。该成果通过将几乎复结构的空间扩展至包含来自辛场论的 $A_1$-奇点结构，解决了弗洛尔理论中的一个关键障碍，并支持了同调镜像对称。

ABSTRACT

We introduce a contravariant functor, called Floer functor, from the category of Lagrangian conductors of a symplectic manifold to the homotopy category of bounded chain complexes of open strings in this manifold. The latter two categories are defined for all symplectic manifolds, whereas Floer functor is defined for semipositive manifolds which are either closed or convex at infinity. We then prove that when the first Chern class of the symplectic manifold vanishes, Lagrangian spheres define Lagrangian conductors so that in particular their integral Floer cohomology is well defined. This requires the introduction of singular almost-complex structures given by symplectic field theory.

研究动机与目标

• 为半正则辛流形中的拉格朗日子丛定义一个反变弗洛尔函子，映射至开弦有界链复形的同伦范畴。
• 解决在第一陈类为零的流形中为拉格朗日子球面定义积分弗洛尔上同调的障碍。
• 将几乎复结构的空间扩展，以包含来自辛场论的 $A_1$-奇点结构，从而实现 $J$-全纯盘的局部化。
• 证明拉格朗日子球面构成拉格朗日子丛，因此在这些设定下可定义良好的积分弗洛尔上同调。
• 通过在弗洛尔形式系统中嵌入扭曲复形与导出范畴，支持同调镜像对称的框架。

提出的方法

• 引入一个具有对偶性、张量积和 ${\mathbb{Z}}$-作用的开弦预加法范畴 ${\cal OS}(X,\omega)$，并定义一个系数函子 ${\cal C}$ 映射至诺维科夫环 ${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$ 上的自由模。
• 将拉格朗日子丛定义为有限个横截闭拉格朗日子流形的集合，配备一个取值于相容几乎复结构空间 ${\cal J}_{\omega}$ 的函数，定义在斯坦舍夫关联多面体上的全空间曲面上。
• 通过弗洛尔复形与连续映射构造弗洛尔函子 ${\cal F}:{\cal CL}^{\pm}(X,\omega)\to K^{b}({\cal OS}_{1}(X,\omega))$，其函子性由几乎复结构的 bordism 保证。
• 将几乎复结构的空间扩展为 $\overline{\cal J}_{\omega}={\cal J}_{\omega}\sqcup\partial{\cal J}_{\omega}$，引入来自辛场论的 $A_1$-奇点结构，以处理 $J$-全纯盘中的奇点。
• 应用一个局部化现象（定理 4.1），表明边界位于拉格朗日子球面上的 $J$-全纯盘会集中在比预期更高余维的子流形上，从而实现积分弗洛尔上同调。
• 通过去除奇点技术与莫尔斯-博特定理，证明拉格朗日子球面的弗洛尔上同调同构于作为 ${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$-代数的 $H^*(S^n,\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}((t^\mathbb{R}))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准弗洛尔理论中存在障碍的情况下，是否仍可在第一陈类为零的辛流形中为拉格朗日子球面定义积分弗洛尔上同调？
• RQ2 如何将几乎复结构的空间扩展，以包含允许 $J$-全纯盘在拉格朗日子球面上局部化的奇点结构？
• RQ3 斯坦舍夫的关联多面体与多重多面体在组织拉格朗日子丛的数据及定义弗洛尔函子中起什么作用？
• RQ4 在奇点几乎复结构的更高余维子流形上，$J$-全纯膜的局部化如何影响弗洛尔复形的结构？
• RQ5 拉格朗日子丛的范畴是否可用于在拉格朗日子球面及其弗洛尔上同调模上定义预加法范畴结构？

主要发现

• 该弗洛尔函子 ${\cal F}$ 在半正则辛流形（闭或在无穷远处为凸）上是良定义的，将拉格朗日子丛映射至开弦有界链复形的同伦范畴。
• 当第一陈类为零时，拉格朗日子球面构成拉格朗日子丛，通过扩展的 $A_1$-奇点几乎复结构空间，可构造其积分弗洛尔上同调。
• $A_1$-奇点几乎复结构将边界位于拉格朗日子球面上的 $J$-全纯盘局部化至比预期更高余维的子流形，从而解决了积分弗洛尔上同调的关键障碍。
• 拉格朗日子球面 $L$ 的弗洛尔上同调 $HF(L,L;J_L)$ 作为 ${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$-代数，与 $H^*(S^n,\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}((t^\mathbb{R}))$ 有自然同构，其生成元位于度数 0 和 $n$。
• 在第一陈类为零、且为闭或在无穷远处为凸的辛流形中，任何光滑的拉格朗日子球面都不能通过哈密顿同伦位移到自身之外，该结果与福崎-大木-大野-大岛的结果一致。
• 格拉斯化循环的范畴 $\widetilde{{\cal L}ag}_0(X,\omega)$ 允许一个极小的预加法范畴结构，且任意两个遗忘函子 $\text{For}_J$ 的截面均导出同构的子范畴。