[论文解读] Open systems dynamics: Simulating master equations in the computer

Carlos Navarrete–Benlloch|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Quantum Information and Cryptography被引用 25

一句话总结

本文提出了一套系统化、面向实现的MATLAB数值模拟指南，用于通过主方程模拟开放量子系统，重点利用超空间形式化高效编码Liouvillian超算符。该方法在耦合到两个光学生态的三能级级联系统上得到验证，实现了精确的稳态解，并通过计算对数负性来量化纠缠，结果表明各子系统之间存在微弱但非零的纠缠，尤其在级联系统与腔模之间最为显著。

ABSTRACT

Master equations are probably the most fundamental equations for anyone working in quantum optics in the presence of dissipation. In this context it is then incredibly useful to have efficient ways of coding and simulating such equations in the computer, and in this notes I try to introduce in a comprehensive way how do I do so, focusing on Matlab, but making it general enough so that it can be directly translated to any other language or software of choice. I inherited most of my methods from Juan José García-Ripoll (whose numerical abilities I cannot praise enough), changing them here and there to accommodate them to the way my (fairly limited) numerical brain works, and to connect them as much as possible to how I understand the theory behind them. At present, the notes focus on how to code master equations and find their steady state, but I hope soon I will be able to update them with time evolution methods, including how to deal with time-dependent master equations. During the last 4 years I've tested these methods in various different contexts, including circuit quantum electrodynamics, the laser problem, optical parametric oscillators, and optomechanical systems. Comments and (constructive) criticism are greatly welcome, and will be properly credited and acknowledged.

研究动机与目标

• 为使用计算机模拟数值求解开放量子系统中的主方程提供一种实用且可推广的框架。
• 通过利用超空间形式化，简化MATLAB中Liouvillian超算符的实现，实现高效的矩阵构造。
• 实现对具有多个希尔伯特空间分量的复杂量子系统，精确计算稳态密度矩阵。
• 演示对复合量子系统不同二分划分的纠缠度量——特别是对数负性——的评估方法。
• 提供一个可复现、可扩展的计算流程，适用于多种量子光学系统，如电路量子电动力学和光机械系统。

提出的方法

• 通过列堆叠（向量化）将密度矩阵表示为向量，将主方程转化为线性常微分方程组：$ d\vec{\rho}/dt = \mathbb{L}\vec{\rho} $。
• 使用超空间形式化构造Liouvillian矩阵$ \mathbb{L} $，将算符指标映射为单一矩阵表示。
• 以形式$ \frac{d\hat{\rho}}{dt} = -i[\hat{H},\hat{\rho}] + \Gamma(2\hat{J}\hat{\rho}\hat{J}^\dagger - \hat{J}^\dagger\hat{J}\hat{\rho} - \hat{\rho}\hat{J}^\dagger\hat{J}) $实现主方程，其中$ \hat{H} $和$ \hat{J} $为输入算符。
• 使用MATLAB内置函数如`permute`、`reshape`和`eig`处理张量结构、部分转置及特征值分析，以检测纠缠。
• 通过部分转置密度矩阵的特征值计算对数负性：$ E_{\text{LN}} = \log[1 + \sum_n (|\tilde{\lambda}_n| - \tilde{\lambda}_n)] $，以量化纠缠。
• 通过在适当子空间中使用单位算符进行矩阵乘法，对子系统进行约化，获得用于二分纠缠分析的约化密度矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在像MATLAB这样的通用编程语言中，高效且系统化地实现任意开放量子系统的Liouvillian超算符？
• RQ2 使用超空间形式化，最有效的方式是什么，以表示和操作密度矩阵及其向量化形式的演化？
• RQ3 如何准确计算具有多个希尔伯特空间分量的复合量子系统的主方程稳态解？
• RQ4 将三能级级联系统耦合到两个光学生态，会在多大程度上诱导纠缠？这种纠缠在不同二分划分中如何分布？
• RQ5 在混合态、多体量子系统中，哪些数值技术可实现对纠缠度量（如对数负性）的可靠计算？

主要发现

• 超空间形式化使得在MATLAB中直接、清晰且高效地实现Liouvillian矩阵成为可能，代码复杂度极低。
• 在强驱动下，腔模的稳态布居数保持在其未扰动值附近（$ |\alpha|^2 = 400 $，$ |\beta|^2 = 25 $），表明耦合效应微弱。
• 计算得到的对数负性值为：$ 0.00259 - 1.06 \times 10^{-16}i $（系统+腔模），$ 2.03 \times 10^{-7} - 9.71 \times 10^{-17}i $（仅腔模），$ 0.00180 - 1.28 \times 10^{-16}i $（系统+a模），以及$ 9.20 \times 10^{-5} - 1.50 \times 10^{-17}i $（系统+b模）。
• 最大的纠缠存在于$ \Xi $系统与腔模整体之间，而两个腔模之间的纠缠可忽略不计。
• $ \Xi $系统与a模之间的纠缠显著强于与b模之间的纠缠，表明存在非对称耦合效应。
• 所有计算得到的对数负性值均较小但非零，证实所有二分划分中均存在微弱但非平凡的纠缠。