[论文解读] Operads, Algebras and Modules in General Model Categories

Markus Spitzweck|ArXiv.org|Jan 11, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 70

一句话总结

本文通过为在可生成的对称张量模型范畴中定义的运算、代数和模引入 J-半模型结构（J-semi model structures）和模的完整模型结构，建立了一个同伦论框架。该框架证明了在运算和代数的弱等价下，代数与模的范畴具有同伦不变性，并在 E∞-代数的模的导出范畴上构造了对称张量结构，将 EKMM 和 KM 理论推广至具基变换与投影公式的通用背景。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of operads, algebras and modules in cofibrantly generated symmetric monoidal model categories. We give J-semi model strucures, which are a slightly weaker version of model structures, for operads and algebras and model structures for modules. In a second part we develop the thoery of S-modules of [EKMM]., which allows a general homotopy theory for commutative algebras and pseudo unital symmetric monoidal categories of modules over them. Finally we prove a base change and projection formula.

研究动机与目标

• 在可生成的对称张量模型范畴中，为运算、代数和模发展一个通用的同伦理论。
• 为运算和代数建立 J-半模型结构，其作为全模型结构的较弱但充分的替代方案，因自由函子的非线性性而必要。
• 证明在运算和代数的弱等价下，代数与模的范畴具有同伦不变性。
• 通过从 SSet 或非负度整系数复形 Comp≥0(Ab) 到任意对称张量模型范畴的对称张量左 Quillen 函子，将 EKMM 和 KM 的 S-模与 E∞-代数理论推广至一般模型范畴。
• 为 E∞-代数上的模证明基变换与投影公式，推广拓扑与代数设定中的已知结果。

提出的方法

• 通过小对象构造法与提升性质，引入运算和代数的 J-半模型结构，将 Hovey 的框架适配至非线性自由函子的场景。
• 利用线性等距运算在一般对称张量模型范畴 C 中构造 E∞-运算，当 C 允许从 SSet 或 Comp≥0(Ab) 出发的对称张量左 Quillen 函子时成立。
• 通过模的张量积与导出函子，在一个 C-拟纤维 E∞-代数的模的导出范畴上构造对称张量结构。
• 将基变换与投影公式应用于代数同态下的模的拉回与上推，推广经典结果。
• 证明从 C 的拟纤维交换代数的导出范畴到其同伦范畴的自然函子，关于余积与张量积是保持对称张量结构的。
• 证明 E∞-代数上模的导出张量积同构于涉及拟纤维替换与模结构的特定上推构造，确保与对称张量结构的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般可生成的对称张量模型范畴中为运算和代数构造 J-半模型结构？
• RQ2 在导出意义下，弱等价运算上的代数范畴是否具有同伦不变性？
• RQ3 E∞-代数上的模范畴是否在同伦范畴中继承一个良好行为的对称张量结构？
• RQ4 能否通过从 SSet 或 Comp≥0(Ab) 出发的左 Quillen 函子，将 EKMM 与 KM 的 S-模与 E∞-代数理论推广至任意对称张量模型范畴？
• RQ5 在该一般设定下，E∞-代数上模的基变换与投影公式的精确形式是什么？

主要发现

• 在可生成的对称张量模型范畴中，即使因自由函子的非线性性导致全模型结构失效，运算与代数的 J-半模型结构依然存在。
• 在弱等价运算上的代数范畴具有同伦不变性，即弱等价的运算诱导其代数范畴之间的 Quillen 等价。
• 一个拟纤维 E∞-代数上模的导出范畴自然地继承一个由导出张量积诱导的对称张量结构。
• 当对称张量模型范畴 C 允许从 SSet 或 Comp≥0(Ab) 出发的对称张量左 Quillen 函子时，S-模中线性等距运算的 E∞-运算可上拉至 C，从而在 C 中建立良好行为的 E∞-代数及其模的理论。
• 基变换与投影公式在 E∞-代数上模的导出范畴中成立，推广了拓扑与代数设定中的已知结果。
• E∞-代数上模的导出张量积同构于涉及拟纤维替换与模结构的上推构造，确保与对称张量结构的一致性。