[论文解读] Operads and Phylogenetic Trees

John C. Baez, Nina Otter|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

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一句话总结

本文引入了运算图 $φ\mathrm{Phyl}$，将其形式化为使用边标签表示时间或分支长度的系统，用于描述系统发育树。证明了 $φ\mathrm{Phyl}$ 中 $n$-元运算的空间与 $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ 之间存在同胚关系，其中 $\mathscr{T}_n$ 是 Billera-Holmes-Vogtmann 的度量 $n$-树空间，且展示了系统发育中的马尔可夫模型可构成 $\mathrm{Phyl}$ 上的余代数，从而将进化生物学与代数拓扑联系起来。

ABSTRACT

We construct an operad $\mathrm{Phyl}$ whose operations are the edge-labelled trees used in phylogenetics. This operad is the coproduct of $\mathrm{Com}$, the operad for commutative semigroups, and $[0,\infty)$, the operad with unary operations corresponding to nonnegative real numbers, where composition is addition. We show that there is a homeomorphism between the space of $n$-ary operations of $\mathrm{Phyl}$ and $\mathcal{T}_n imes [0,\infty)^{n+1}$, where $\mathcal{T}_n$ is the space of metric $n$-trees introduced by Billera, Holmes and Vogtmann. Furthermore, we show that the Markov models used to reconstruct phylogenetic trees from genome data give coalgebras of $\mathrm{Phyl}$. These always extend to coalgebras of the larger operad $\mathrm{Com} + [0,\infty]$, since Markov processes on finite sets converge to an equilibrium as time approaches infinity. We show that for any operad $O$, its coproduct with $[0,\infty]$ contains the operad $W(O)$ constucted by Boardman and Vogt. To prove these results, we explicitly describe the coproduct of operads in terms of labelled trees.

研究动机与目标

• 将带有边长的系统发育树形式化为代数结构中的运算。
• 构建一个运算图 $\mathrm{Phyl}$，其运算对应于系统发育学中使用的带标签边的树。
• 建立 $\mathrm{Phyl}$ 中 $n$-元运算空间与 $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ 之间的拓扑等价性，其中 $\mathscr{T}_n$ 是度量 $n$-树的空间。
• 证明用于 DNA 演化的马尔可夫过程可生成 $\mathrm{Phyl}$ 上的余代数，从而将随机模型与运算图结构联系起来。
• 证明 $\mathrm{Com}$ 与 $[0,\infty)$ 的余积可生成任意运算图 $O$ 的 Boardman-Vogt 运算图 $W(O)$。

提出的方法

• 将运算图 $\mathrm{Phyl}$ 构造为 $\mathrm{Com}$（用于交换半群）与 $[0,\infty)$（用于非负实数的加法）的余积。
• 将 $\mathrm{Phyl}_n$（$n$-元运算的集合）定义为：根节点有 $n$ 个标记为 $1,\dots,n$ 的叶节点，边在 $[0,\infty)$ 上标号，无一元顶点，且内部边长度为正。
• 在 $\mathrm{Phyl}_n$ 上赋予一种基于树的同构类和边长连续变化的拓扑，包括内部边塌缩至零的退化情形。
• 建立双射 $f: \mathrm{Phyl}_n \to \mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$，将每棵树映射为其底层度量树以及 $n+1$ 个外部边的长度。
• 通过使用 $\mathscr{T}_n$ 和 $[0,\infty)^{n+1}$ 拓扑的基集，证明 $f$ 是连续且开映射，从而证明其为同胚。
• 证明在有限状态空间上运行的马尔可夫过程会收敛至平衡态，使其余代数结构可延拓至 $\mathrm{Com} + [0,\infty]$，从而也延拓至 $\mathrm{Phyl}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将带有边长的系统发育树形式化为代数结构中的运算？
• RQ2 $\mathrm{Phyl}$ 运算图中 $n$-元运算空间的拓扑结构是什么？
• RQ3 标准的 DNA 演化马尔可夫模型是否可生成 $\mathrm{Phyl}$ 上的余代数？
• RQ4 运算图的余积与 Boardman-Vogt 构造 $W(O)$ 有何关系？
• RQ5 度量 $n$-树空间 $\mathscr{T}_n$ 是否可自然地识别为 $\mathrm{Phyl}$ 中 $n$-元运算空间的一个分量？

主要发现

• $\mathrm{Phyl}$ 中 $n$-元运算的空间同胚于 $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$，其中 $\mathscr{T}_n$ 是 Billera-Holmes-Vogtmann 的度量 $n$-树空间。
• $\mathrm{Phyl}$ 运算图同构于余积 $\mathrm{Com} + [0,\infty)$，其复合运算由边长的加法定义。
• 在有限状态空间上建模 DNA 演化的马尔可夫过程可生成 $\mathrm{Phyl}$ 上的余代数，原因在于时间趋于无穷时过程收敛至平衡态。
• $\mathrm{Com}$ 与 $[0,\infty)$ 的余积包含任意运算图 $O$ 的 Boardman-Vogt 运算图 $W(O)$，推广了已知构造。
• $\mathrm{Phyl}_n$ 上的拓扑由对应于树的同构类和边长连续变化（包括退化至低元运算的情形）的开集生成。