[论文解读] Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces

Ezra Getzler, John D. S. Jones|ArXiv.org|Mar 8, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 392

一句话总结

本文利用重积分与范畴同伦代数，构建了单连通流形的双重循环空间上微分形式的模型。证明了重积分映射是交换的共霍普夫代数之间的弱等价，通过特征为零下的n-代数的巴尔构造与范畴化解析技术，为双重循环空间提供了同伦理论完备的代数模型。

ABSTRACT

This paper provides some background to the theory of operads, used in the first author's papers on 2d topological field theory (hep-th/921204, CMP 159 (1994), 265-285; hep-th/9305013). It is intended for specialists.

研究动机与目标

• 为单连通流形的双重循环空间上的微分形式建立代数模型。
• 利用范畴形式化，将陈氏重积分理论从循环空间推广至双重循环空间。
• 建立微分形式的巴尔构造与双重循环空间的德拉姆复形之间的同伦理论等价。
• 通过范畴编码的代数结构，为理解二维拓扑场论提供框架。
• 将结合代数与交换代数的巴尔构造推广至n-代数及其对偶余代数，其中n ≥ 2。

提出的方法

• 使用微分分次范畴来形式化结合代数、交换代数、李代数与泊松代数等代数结构。
• 为n-代数A定义巴尔构造$B_n A$，其结果为一个余自由的n-余代数结构。
• 构造一个$S_k$-等变电流映射$pv: e_n^*(k) \to \Omega^{\bullet}(C_k)^\vee$，即阿诺德形式的主值。
• 通过在配置空间上使用电流，定义重积分映射$\varrho: \Omega^\bullet(M)^{\otimes k} \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$。
• 证明总重积分映射$\varrho: \Omega^\bullet(M) \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$是微分分次交换代数的同态。
• 应用怀特黑德型定理，表明若$\varrho$的巴尔构造是弱等价，则$\varrho$本身也是弱等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 重积分能否为双重循环空间$\Omega^2 M$上的微分形式提供一个同伦理论完备的模型？
• RQ2 范畴同伦理论如何用于将结合代数与交换代数的巴尔构造推广至n-代数？
• RQ3 从n-代数及其对偶余代数的角度，$\Omega^2 M$的德拉姆复形的精确代数结构是什么？
• RQ4 从$\Omega^\bullet(M)$到$\Omega^\bullet(\Omega^2 M)$的重积分映射是否为交换共霍普夫代数之间的弱等价？
• RQ5 在范畴化解析的背景下，巴尔构造的同调如何与导出函子相关联？

主要发现

• 当$M$为单连通时，重积分映射$\varrho: \Omega^\bullet(M) \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$是交换共霍普夫代数之间的弱等价。
• n-代数$A$的巴尔构造$B_n A$是一个n-余代数，其在n-余代数的同伦范畴中的像即为不可约分函子的左导出函子。
• 当$n=2$时，巴尔构造$B_2 A$同构于复形$\bigoplus_{k\geq 1} \Sigma^{-2k} H^\bullet(B_k; (\Sigma^2 A)^{\otimes k})$，从而与辫群上同调相关联。
• $B_n A$上的微分由涉及$A$上的微分、余括号$\delta_{ij}$与李括号$\{a_i, a_j\}$的项之和显式给出，符号由分次交换性确定。
• $pv: e_2^*(k) \to \Omega^{\bullet}(C_k)^\vee$被构造为在$C_k^\varepsilon$上的积分极限，并满足$d^* \circ pv = \sum_{i<j} pv \circ \delta_{ij}$。
• 巴尔构造$B_n$具有左伴随$\Omega_n$，且该伴随对在$ n \geq 1 $时诱导了同伦范畴的等价，推广了Quillen对结合与交换代数的等价性。