[论文解读] Operationally-Motivated Uncertainty Relations for Joint Measurability and the Error-Disturbance Tradeoff

Joseph M. Renes, Volkher B. Scholz|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过一种操作框架，推导出有限维量子系统中联合可测量性与误差-扰动权衡的新型海森堡型不确定性关系。它将误差与扰动量化为实际测量装置与理想测量装置之间行为可区分性的概率，证明非对易可观测量无法以高保真度同时测量，或造成最小扰动。

ABSTRACT

We derive new Heisenberg-type uncertainty relations for both joint measurability and the error-disturbance tradeoff for arbitrary observables of finite-dimensional systems. The relations are formulated in terms of a directly operational quantity, namely the probability of distinguishing the actual operation of a device from its hypothetical ideal, by any possible testing procedure whatsoever. Moreover, they may be directly applied in information processing settings, for example to infer that devices which can faithfully transmit information regarding one observable do not leak any information about conjugate observables to the environment. Though intuitively apparent from Heisenberg's original arguments, only more limited versions of this statement have previously been formalized.

研究动机与目标

• 制定可直接应用于量子信息处理任务的联合可测量性与误差-扰动不确定性关系。
• 将误差与扰动操作性地定义为：在任何实验中，装置实际行为与理想行为可区分的概率。
• 基于操作性可区分性，建立两个非对易可观测量可联合测量程度或测量过程中扰动大小的定量界限。
• 提供一个框架，强化海森堡原始论点中的基础洞见，特别是关于测量过程中信息泄漏至环境的问题。
• 推导出在密码学与量子信息应用中既数学严谨又操作有意义的不确定性关系。

提出的方法

• 使用钻石范数量化代表实际与理想测量装置的量子通道之间的可区分性。
• 将可观测量 X 的误差定义为实际装置与假设的理想测量通道之间的钻石范数距离。
• 将可观测量 Z 的扰动定义为装置在作用于 Z 的本征态时，能够模拟固定输出通道的能力。
• 应用 Stinespring 表示的连续性，以可观测量的不相容性为依据，推导误差与扰动的界限。
• 利用半定规划对偶性，对序列测量通道与固定输出通道之间的钻石范数距离进行上界估计。
• 通过结合钻石范数的三角不等式、通道复合与单调性性质，推导不确定性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以直接关联信息处理任务的方式量化量子测量中的误差与扰动？
• RQ2 测量一个可观测量的准确性与对非对易可观测量造成的扰动之间，存在何种根本性权衡？
• RQ3 两个非对易可观测量的联合可测量性能否通过其与理想行为的操作性可区分性进行界定？
• RQ4 一个能忠实测量某一可观测量的测量装置，在在多大程度上会将其共轭可观测量的信息泄漏至环境？
• RQ5 如何推导出既具有操作意义又可应用于量子密码学（超越密钥分发）的不确定性关系？

主要发现

• 联合可测量性不确定性关系表明，当可观测量的不相容性较高时，测量两个非对易可观测量的误差无法同时很小，其量化基于测量装置的操作性可区分性。
• 误差-扰动权衡关系证明：若装置对可观测量 X 的测量误差为 ε_X，则对可观测量 Z 的扰动下限为 1 - δ(Q_X∘Q_Z^♮, F)，其中 δ 为与固定输出通道的钻石范数距离。
• 推导出一个定量界限：√(2ε_X) + η_Z ≥ 1 - max_z ∑_x {1/d - |⟨φ_x|ϑ_z⟩|²}_+，将误差、扰动与 X 和 Z 基之间的重叠联系起来。
• 该框架表明，能够忠实传递某一可观测量信息的装置，无法同时向环境泄漏其共轭可观测量的信息。
• 所推导的不确定性关系具有操作意义，可直接用于分析量子信息协议，包括量子密码学的安全性。
• 结果基于 Stinespring 表示的连续性与半定规划对偶性推导，为联合可测量性与误差-扰动提供了统一的理论基础。