[论文解读] Operations on Graphs Increasing Some Graph Parameters

Alexander Kelmans|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了能够提升图的关键参数（如拉普拉斯特征值、可靠性及生成树数量）的图操作。提出了一类在特定条件下可保持或增强这些参数的加权图对称操作，证明了在二分图中，某些变换可增加最大的拉普拉斯特征值，从而在图族中建立了可靠性与谱性质的单调性。

ABSTRACT

In this partly expository paper we discuss and describe some of our old and recent results on partial orders on the set (m,n)-graphs (i.e. graphs with n vertices and m edges) and some operations on graphs that are monotone with respect to these partial orders. The partial orders under consideration include those related with some Laplacian characteristics of graphs as well as with some probabilistic characteristics of graphs with randomly deleted edges. Section 2 provides some notions, notation, and simple observations. Section 3 contains some basic facts on the Laplacian polynomial of a graph. Section 4 describes various graph operation and their properties. In Section 5 we introduce some partial orders on the set of (m,n)-graphs related, in particular, with the graph Laplacian and the graph reliability (Laplacian posets and reliability posets}). Section 6 contains some old and recent results on the monotonicity of some graph operations with respect to Laplacian posets. Section 7 and 8 include some old and recent results on the monotonicity of some graph operations with respect to reliability posets and to some other parameters of graphs as well as some open problems. Section 9 contains some generalizations of the described results on weighted graphs. Keywords: graph, graph operations, graph posets, random graphs, decomposable graphs, threshold graphs, weighted graphs, spanning subgraphs, Laplacian polynomial and spectrum, adjacency polynomial and spectrum, graph reliability, trees, forests, Hamiltonian cycle and path, symmetric polynomials

研究动机与目标

• 研究能够提升图的基本参数（如生成树数量、可靠性及拉普拉斯特征值）的图操作。
• 基于可靠性与拉普拉斯谱性质，定义并分析固定顶点数与边数的图上的偏序关系。
• 将无权图上的图操作结果推广至加权图，特别关注对称的 (v₁,v₂,ε)-操作。
• 探究是否存在不依赖于边失效概率 p 的最可靠或最不可靠图，以及此类图是否唯一。
• 将阈值图的概念推广至加权图，并在对称边权操作下建立谱单调性。

提出的方法

• 提出一种在加权图上进行的对称 (v₁,v₂,ε)-操作，通过在两个顶点间重新分配边权，同时保持总边权不变。
• 利用Perron-Frobenius定理与Courant-Swartz极小-极大原理，分析加权图邻接矩阵的最大特征值 β(Kʷ)。
• 应用矩阵树定理与拉普拉斯矩阵的性质，将生成树数量与拉普拉斯矩阵的特征值关联起来。
• 将可靠性 R(p,G) 定义为：当每条边以概率 p 保留时，随机子图保持连通的概率，并通过偏序 G ⪰ʳ F（当对所有 p ∈ [0,1] 都有 R(p,G) ≥ R(p,F)）来比较图的可靠性。
• 通过条件 bip(Kʷ) = odc(Kʷ) = n+1 定义加权二分图，并证明在该类图中，对称操作可保持或增加最大的拉普拉斯特征值 λ(Kʷ)。
• 通过定义 x ⪯ y（当对所有 v ≠ x,y 都有 w(xv) ≤ w(yv)）将阈值图推广至加权图，并证明在这些图上，对称操作下 λ(Kʷ) 具有单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意具有 n 个顶点与 m 条边的图集合，是否都存在一个不依赖于边失效概率 p 的最可靠图？
• RQ2 当对称 (v₁,v₂,ε)-操作生成的图是二分图时，能否证明其可增加加权图的最大拉普拉斯特征值？
• RQ3 在何种条件下，对称 (v₁,v₂,ε)-操作可保持或增加图的生成树数量？
• RQ4 可靠性序 ⪰ʳ 是否为全序？在 Gₙᵐ 中是否存在不可比较的图？
• RQ5 能否将阈值图的概念推广至加权图，使得对称操作可保持或增加谱参数？

主要发现

• 若对加权图 Kʷ 执行对称的 (v₁,v₂,ε)-操作，且操作对称，且权函数满足对所有 s 属于公共邻域都有 w(v₁s) ≥ w(v₂s) ≥ ε(s) ≥ 0，则其邻接矩阵的最大特征值 β(Kʷ) 会增加。
• 对于加权二分图 Kʷ，若对称 (v₁,v₂,ε)-操作保持二分性，则其最大的拉普拉斯特征值 λ(Kʷ) 会增加。
• 若 G′ 由 G 经对称 Kₓᵧ-操作得到，且 G′ 为二分图，则 G ⪰ᶠ G′，即此类操作下可靠性序保持不变。
• 条件 bip(Kʷ) = odc(Kʷ) = n+1 可刻画加权二分图，且在此条件下，L(λ,Kʷ) = L⁺(λ,Kʷ)，确保拉普拉斯矩阵与符号拉普拉斯矩阵的特征多项式相等。
• 在满足对所有顶点对都有 x ⪯ y 的加权阈值图上，对称 (v₁,v₂,ε)-操作会使拉普拉斯矩阵的最大特征值 λ(Kʷ) 增加。
• 本文证明了对于某些 (n,m) 组合，在 Gₙᵐ 中不存在 ⪰ʳ-最大图，意味着最可靠图依赖于 p，因此可靠性序并非全序。