[论文解读] Operations on polyhedral products and a new topological construction of infinite families of toric manifolds

Abbas Bahri, Martin Bendersky+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 25被引用 12

一句话总结

本文引入了一种在单纯复形上定义的新组合运算，通过多面体积和广义 момента-角度复形，从一个给定的环状流形构造出无限族的环状流形。主要贡献在于以原始多面体和特征映射的形式，完整描述了新流形 $M(J)$ 的整数上同调环，从而实现了对具有可处理拓扑不变量的环状流形的系统性生成。

ABSTRACT

A combinatorial construction is used to analyze the properties of polyhedral products and generalized moment-angle complexes with respect to certain operations on CW pairs including exponentiation. This allows for the construction of infinite families of toric manifolds, associated to a given one, in a way which simplifies the combinatorial input and consequently, the presentation of the cohomology rings. The new input is the interaction of a purely combinatorial construction with natural associated geometric constructions related to polyhedral products and toric manifolds. Applications of the methods and results developed here have appeared in literature.

研究动机与目标

• 开发一种从单个给定环状流形系统性生成无限族环状流形的方法。
• 简化描述环状流形上同调环所需的组合与上同调输入。
• 通过等变同胚建立广义 момента-角度复形与标准多面体积之间的拓扑等价性。
• 以原始数据的形式，提供新环状流形 $M(J)$ 的完整上同调描述。
• 构造一个环状流形嵌套序列，其上同调映射为满射，且保持 $H^2$-结构。

提出的方法

• 在具有 $m$ 个顶点的单纯复形上定义一个运算 $J$，通过正整数序列 $J = (j_1, \dots, j_m)$ 生成一个新复形 $K(J)$，其顶点数为 $d(J) = \sum j_i$。
• 通过定理 7.5 证明多面体积 $Z(K(J); (D^2, S^1))$ 与 $Z(K; (D^{2J}, S^{2J-1}))$ 之间存在等变同胚，从而将广义 момента-角度复形与标准复形联系起来。
• 新环状流形 $M(J)$ 的上同调通过纤维丛 $Z(K; (\mathbb{C}P^\infty, \mathbb{C}P^{J-1})) \to BT^m$ 的 Serre 上同调谱序列推导得出，其中 $H^*(M(J); \mathbb{Z})$ 被识别为 $\mathbb{Z}[v_1, \dots, v_m]$ 关于理想 $I_K^J + L_M$ 的商。
• 该构造使用 Davis-Januszkiewicz 空间作为模型，映射 $p^*$ 从 $BT^n$ 到 $BT^m$ 编码特征映射 $\lambda$，并定义理想 $L_M$。
• 通过序列 $J < L$ 的直积序引入嵌套构造，得到嵌入 $M(J) \subset M(L)$，其法丛为 $\bigoplus (l_i - j_i)\alpha_i$。
• 通过谱序列坍缩与图表追踪，证明上同调映射 $i^*: H^k(M(L)) \to H^k(M(J))$ 对所有 $k$ 为满射，且在 $k=2$ 时为同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从一个给定的环状流形系统性地生成无限族环状流形？
• RQ2 新环状流形 $M(J)$ 的上同调环在原始多面体和特征映射下的精确结构是什么？
• RQ3 通过等变拓扑，广义 момента-角度复形与标准多面体积之间有何关系？
• RQ4 当 $J < L$ 时，嵌入 $M(J) \subset M(L)$ 的拓扑性质是什么？它们如何影响上同调？
• RQ5 特征映射 $\lambda$ 的不变量能否检测嵌套族中环状流形的微分同胚或同伦等价？

主要发现

• 新环状流形 $M(J)$ 的上同调环同构于 $\mathbb{Z}[v_1, \dots, v_m]/(I_K^J + L_M)$，其中 $I_K^J$ 来自单纯复形 $K(J)$，$L_M$ 来自原始特征映射 $\lambda$。
• 多面体积 $Z(K(J); (D^2, S^1))$ 与 $Z(K; (D^{2J}, S^{2J-1}))$ 之间存在等变同胚，建立了广义与标准 момента-角度复形之间的拓扑等价性。
• Serre 上同调谱序列中的映射 $p^*$ 被识别为复合映射 $(\alpha^{-1})^ \circ (p_1^* \circ s^*)$，其像在上同调商中生成理想 $L_M$。
• 当 $J < L$ 时，嵌入 $\zeta: M(J) \to M(L)$ 的法丛为 $\bigoplus_{i=1}^m (l_i - j_i)\alpha_i$，其中 $c_1(\alpha_i) = v_i$。
• 上同调映射 $i^*: H^k(M(L)) \to H^k(M(J))$ 对所有 $k$ 为满射，且在 $k=2$ 时为同构，这是由于谱序列坍缩及纤维丛结构所致。
• 构造了一个嵌套的环状流形序列 $M(J_0) \subset M(J_1) \subset \cdots$，其中 $d(J_i) = m + i$，每个嵌入的余维数为二，且上同调映射为满射，在 $k=2$ 时为同构。