[论文解读] Operator algebras with contractive approximate identities, III

David P. Blecher, C. J. Read|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 6

一句话总结

该论文通过系统性地发展一种新的正性概念及其相关序关系，推进了具有收缩近似单位元（cais）的算子代数理论，证明了关于锥体和严格正元素的基础性结果。它解决了先前工作中几乎所有的开放问题，构造了新例子，表明即使在模化零化子代数的情况下，拟单的约化单位算子代数也不一定是弱紧的，并且表明交换的弱紧代数可能具有非稀疏谱。

ABSTRACT

We continue our study of operator algebras with contractive approximate identities (cais). In earlier papers we have introduced and studied a new notion of positivity in operator algebras, with an eye to extending certain $C^*$-algebraic results and theories to more general algebras. In the first part of this paper we do a more systematic development of this positivity and its associated ordering, proving many foundational facts. In much of this it is not necessary that the algebra have an approximate identity. In the second part we study interesting examples of operator algebras with cais, which in particular answer questions raised in previous papers in this series. Indeed the present work solves almost all of the open questions raised in these papers. Many of our results apply immediately to function algebras, but we will not take the time to point these out, although most of these applications seem new.

研究动机与目标

• 为具有收缩近似单位元（cais）的算子代数建立一种新正性概念的系统性基础，将 $C^*$-代数理论扩展到更一般的代数。
• 解决该系列论文中长期存在的开放问题，特别是关于模化零化子代数、弱紧性与谱性质之间关系的问题。
• 代数刻画有限生成右理想，并在新正性意义下证明一个乌里松型引理。
• 构造新的约化单位算子代数例子，以回答关于半单性、弱紧性与谱结构之间相互作用的关键问题。

提出的方法

• 引入并研究集合 $\mathfrak{F}_A = \{a \in A : \|1 - a\| \leq 1\}$, $\mathfrak{c}_A = \mathbb{R}_+ \mathfrak{F}_A$, 以及 $\mathfrak{r}_A = \overline{\mathfrak{c}_A} = \{a \in A : a + a^* \geq 0\}$，作为新的正性锥体。
• 利用单位化代数 $A^1$ 及其单位元 $1$，为非单位代数定义正性。
• 应用峰代数与峰投影理论，特别是对 $T \in \frac{1}{2}\mathfrak{F}_A$，研究 $T^k$ 的极限行为，以分析谱性质与紧投影性质。
• 构造一个非交换的约化单位算子代数作为反例，以证明模化零化子代数不蕴含弱紧性。
• 利用加权移位算子与 $H^p(\beta)$ 空间，构造一个具有非稀疏谱的交换反例。
• 应用谱半径估计与 $\lambda I - T_n$ 的逆的范数界，证明 $\|S^k\| \to 0$，从而推出 $T^k$ 收敛于其峰投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个半单的约化单位算子代数，若为模化零化子代数，是否可能不是弱紧的？
• RQ2 一个交换的约化单位弱紧算子代数是否可能具有非稀疏谱，甚至具有非空内部的谱？
• RQ3 一个根式算子代数是否可能具有半单的二阶对偶？
• RQ4 在算子代数中是否存在一个乌里松型引理，其中插值元素在新意义下为正，且在经典意义下任意接近正？
• RQ5 具有 cais 的算子代数中，代数有限生成右理想的结构是怎样的？

主要发现

• 存在一个半单的约化单位算子代数，其为模化零化子代数但不是弱紧的，回答了 [12] 和 [26] 中提出的问题。
• 存在一个交换的约化单位弱紧半单算子代数，其谱包含非空内部，表明此类代数不必然具有稀疏谱。
• 一个根式算子代数可以具有半单的二阶对偶，表明根式代数的二阶对偶不一定是根式。
• 在 $A^{**}$ 中的紧投影集合包含于 $D_0 \cap A_{00}$，且每个紧投影均可表示为峰投影 $u(T)$ 的递减极限。
• 对于 $T \in \frac{1}{2}\mathfrak{F}_A$，其幂 $T^k$ 弱*收敛于峰投影 $u(T)$，且 $u(T)$ 是 $D_0 \cap A_{00}$ 中的投影。
• 所构造算子 $S$ 的谱半径满足 $r(S) \leq 4p(T)\epsilon < 1$，从而 $\|S^k\| \to 0$ 在范数下收敛，这是证明 $T^k$ 收敛于 $u(T)$ 的关键。