[论文解读] Operator content of real-space entanglement spectra at conformal critical points

Andreas M. Läuchli|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Crystallography and Radiation Phenomena参考文献 4被引用 43

一句话总结

本文提供了数值证据，表明在一维量子多体系统在共形临界点时，其低能纠缠谱对应于边界共形场论（CFT）的能量谱。通过将纠缠谱识别为具有自由边界条件的边界CFT的 $\check{L}_0$ 谱，该方法可直接从纠缠谱中提取底层CFT的紧化半径和算符内容，超越了仅通过纠缠熵可获得的中心电容信息。

ABSTRACT

We provide numerical evidence that the low-lying part of the entanglement spectrum of a real-space block (i.e. a single interval) of a one-dimensional quantum many body system at a conformal critical point corresponds to the energy spectrum of a boundary conformal field theory (CFT). This correspondence allows to uncover a subset of the operator content of a conformal field theory by inspection of the entanglement spectrum of a single wave function, thus providing important information on a CFT beyond its central charge. As a practical application we show that for many systems described by a compactified boson CFT, one can infer the compactification radius (governing e.g. the power law decay of correlation functions) of the theory in a simple way based on the entanglement spectrum.

研究动机与目标

• 建立一维量子多体系统在共形临界点时，实空间块的低能纠缠谱与边界CFT能量谱之间的对应关系。
• 证明纠缠谱不仅编码中心电容信息，还包含底层CFT的算符内容和紧化半径。
• 提供一种实用方法，仅通过单个波函数的纠缠谱即可确定 $c=1$ CFT中的Luttinger液体参数和紧化半径。
• 阐明纠缠切口处边界条件的作用，表明其在有效边界CFT中对应于自由边界条件。
• 通过将纠缠谱与完整CFT算符内容关联，扩展DMRG和矩阵乘积态方法中纠缠谱的诊断能力。

提出的方法

• 在一维量子格点模型在共形临界点时，对实空间块的约化密度矩阵进行数值对角化。
• 使用具有开放和周期性边界条件的密度矩阵重整化群（DMRG）模拟来计算纠缠谱。
• 对纠缠谱进行重标度，以突出其涌现的共形结构，特别是与整数分拆函数 $p(l)$ 匹配的简并模式。
• 将纠缠谱与边界CFT的能量层级进行比较，通过标度维数识别主算符和Virasoro塔。
• 通过粒子数涨落和能级间距分析，利用比值 $\eta = \Delta\xi(0,\pm1)/\Delta\xi(0,0)$ 提取紧化半径 $R$。
• 将纠缠谱映射到具有自由边界条件的边界CFT的 $\check{L}_0$ 谱，其算符内容在OBC与PBC设置中一致，从而推断出自由边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维量子多体系统在共形临界点时，实空间块的低能纠缠谱能否被解释为边界CFT的能量谱？
• RQ2 纠缠谱与底层CFT的算符内容（如主算符及其标度维数）之间存在何种关系？
• RQ3 能否直接从纠缠谱中提取 $c=1$ CFT（如紧化玻色子）的紧化半径？
• RQ4 在纠缠切口处采用不同边界条件如何影响纠缠谱的算符内容？
• RQ5 纠缠谱在提供中心电容之外，还能在多大程度上提供Luttinger液体参数等更多信息？

主要发现

• 在一维临界系统中，实空间块的低能纠缠谱对应于具有自由边界条件的边界CFT的能量谱。
• 纠缠谱的简并结构与整数分拆数 $p(l)$ 匹配，证实了Virasoro塔的存在。
• 在玻色-哈伯德模型 $n=1$ 时，通过 $\eta = \Delta\xi(0,\pm1)/\Delta\xi(0,0)$ 从纠缠谱中提取出紧化半径 $R$，在临界点处 $\eta = 1/2$。
• 纠缠谱揭示了CFT的算符内容：对于玻色-哈伯德模型，谱与 $\mathcal{M}_2$ 最小模型匹配，其主算符为 $0$、$1/2$ 和 $1$。
• 对于三态Potts模型 $c=4/5$，纠缠谱与 $\mathcal{M}_5$ 最小模型匹配，算符内容为 $0 \oplus (2 \times 2/3) \oplus 3$，与自由边界条件一致。
• 在模拟中改变边界条件（如在边界处引入局域场）会改变纠缠谱中的算符内容，其结果与边界CFT对不同边界条件（如 $1/8 \oplus 13/8$ 或 $1/40 \oplus 21/40$）的预测相符。