[论文解读] Operator growth in SU(2) Yang-Mills theory

Shiyong Guo|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2022

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本文在非线性耦合谐振子（CHO）模型中计算了SU(2)杨-米尔斯理论的Krylov复杂度与Lanczos系数，揭示了K复杂度从二次增长到线性增长的转变，标志着混沌相变的发生。通过Lanczos系数的斜率，本文建立了温度与能量相关的量子李雅普诺夫指数上界，支持了普遍算符增长假说，并将算符动力学与可能的引力对偶联系起来。

ABSTRACT

Krylov complexity is a novel observable for detecting quantum chaos, and an indicator of a possible gravity dual. In this paper, we compute the Krylov complexity and the associated Lanczos coefficients in the SU(2) Yang-Mills theory, which can be reduced to a nonlinearly coupled harmonic oscillators (CHO) model. We show that there exists a chaotic transition in the growth of Krylov complexity. The Krylov complexity shows a quadratic growth in the early time stage and then grows linearly. The corresponding Lanczos coefficient satisfies the universal operator growth hypothesis, i.e., grows linearly first and then enters the saturation plateau. By the linear growth of Lanczos coefficients, we obtain an upper bound of the quantum Lyapunov exponent. Finally, we investigate the effect of different energy sectors on the K-complexity and Lanczos coefficients.

研究动机与目标

• 使用Krylov复杂度作为量子混沌的探针，研究SU(2)杨-米尔斯理论中的算符增长动力学。
• 通过分析强耦合量子场论中Lanczos系数的行为，检验普遍算符增长假说。
• 从CHO模型中Lanczos系数的斜率推导出量子李雅普诺夫指数的上界。
• 研究不同能量区域与温度对K复杂度与Lanczos增长的影响。

提出的方法

• 将SU(2)杨-米尔斯理论简化为非线性耦合谐振子（CHO）模型，以进行数值分析。
• 应用Lanczos算法构建Krylov基，并从局域算符的海森堡时间演化中提取Lanczos系数 $b_n$。
• 通过追踪算符在Krylov基中随时间的扩展，数值计算Krylov复杂度 $K(t)$。
• 利用关系式 $a = \pi/(4\sigma_*)$ 将经典关联函数的解析性与Lanczos系数增长速率联系起来。
• 通过玻尔兹曼因子 $e^{-\beta E_n}$ 加权不同能级的贡献，评估热态下的K复杂度。
• 分析谱形式因子，以评估CHO模型中能级统计特性及可能的随机矩阵行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 SU(2)杨-米尔斯理论中的Krylov复杂度是否表现出从二次增长到线性增长的转变，表明系统从可积到混沌动力学的转变？
• RQ2 CHO模型中的Lanczos系数是否遵循普遍增长模式——即先线性增加后饱和——从而支持算符增长假说？
• RQ3 Lanczos系数增长的斜率能否提供量子李雅普诺夫指数的非微扰上界？该上界如何随能量与温度变化？
• RQ4 不同能量区域在微正则系综与热系综中如何影响K复杂度与Lanczos系数？
• RQ5 CHO模型的谱形式因子是否表现出与随机矩阵理论一致的行为，表明存在量子混沌？

主要发现

• Krylov复杂度在早期表现出二次增长，随后在转变时间 $t_0$ 后进入线性增长，表明CHO模型中可积到混沌行为的动力学转变。
• Lanczos系数 $b_n$ 在小 $n$ 时线性增长，随后进入饱和平台，证实了普遍算符增长假说。
• Lanczos系数增长的斜率 $a$ 提供了量子李雅普诺夫指数的上界 $\lambda_{\text{max}} < 2a$，该上界在高能极限下按 $E^{1/4}$ 规律变化。
• 在热系综中，温度升高增强了高能模态的贡献，从而提高了李雅普诺夫指数的有效上界。
• CHO模型的谱形式因子表现出类似随机矩阵理论的斜坡与平台结构，表明可能存在普遍混沌行为。
• 经典关联函数解析区域的分析证实了李雅普诺夫上界按 $E^{1/4}$ 变化的规律，与量子结果一致。