[论文解读] Operator inequalities and gyrolines of the weighted geometric means

Sejong Kim|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文研究了正定算子的两种加权几何平均：标准几何平均 $A\#_t B$ 和谱几何平均 $A\natural_t B$。它建立了两者之间的分量一一对应关系，证明了谱几何平均在新半度量 $d(A,B) = 2\|\log(A^{-1}\#B)\|_2$ 下充当度量中点，并推导出 $2\times2$ 矩阵和密度矩阵的显式公式。主要贡献在于通过算子不等式和几何性质，将这些平均与gyrogroup结构及双曲几何联系起来。

ABSTRACT

We consider in this paper two different types of the weighted geometric means of positive definite operators. We show the component-wise bijection of these geometric means and give a geometric property of the spectral geometric mean as a metric midpoint. Moreover, several interesting inequalities related with the geometric means of positive definite operators will be shown. We also see the meaning of weighted geometric means in the gyrogroup structure with finite dimension and find the formulas of weighted geometric means of 2-by-2 positive definite matrices and density matrices.

研究动机与目标

• 建立正定算子的标准几何平均 $A\#_t B$ 与谱几何平均 $A\natural_t B$ 之间的分量一一对应关系。
• 表征谱几何平均为新半度量 $d(A,B) = 2\|\log(A^{-1}\#B)\|_2$ 下的度量中点。
• 研究加权几何平均在有限维gyrogroup结构中的作用及其在双曲几何中的几何解释。
• 推导 $2\times2$ 正定矩阵和可逆密度矩阵的加权几何平均的显式闭式表达式。
• 将新半度量 $d$ 与黎曼迹度量 $\delta$ 进行比较，并建立算子不等式，包括Ando-Hiai不等式的充分条件。

提出的方法

• 将标准加权几何平均定义为 $A\#_t B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^t A^{1/2}$，其在迹度量下为黎曼测地线。
• 引入谱几何平均 $A\natural_t B = (A^{-1}\#B)^t A (A^{-1}\#B)^t$，通过基于特征值的构造方法推广了几何平均。
• 利用谱分解和对数与幂函数的算子单调性，建立 $A\#_t B$ 与 $A\natural_t B$ 之间的分量一一对应关系。
• 定义新半度量 $d(A,B) = 2\|\log(A^{-1}\#B)\|_2$，并证明 $A\natural_{1/2}B$ 是该度量下的唯一中点。
• 应用gyrogroup理论，将正定矩阵的锥和可逆密度矩阵建模为gyrovectory空间，将几何平均与gyroline及cogyroline曲线联系起来。
• 利用特征值分解和迹恒等式，为 $2\times2$ 正定矩阵和密度矩阵推导出显式的线性组合公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准几何平均 $A\#_t B$ 与谱几何平均 $A\natural_t B$ 如何通过分量一一对应关系相互关联？
• RQ2 谱几何平均 $A\natural B$ 是否可表征为新半度量 $d(A,B) = 2\|\log(A^{-1}\#B)\|_2$ 下的度量中点？
• RQ3 加权几何平均在正定算子和密度矩阵的gyrogroup结构中具有怎样的代数与几何角色？
• RQ4 $2\times2$ 正定矩阵和可逆密度矩阵的加权几何平均的显式闭式表达式是什么？
• RQ5 新半度量 $d$ 与黎曼迹度量 $\delta$ 如何比较？二者之间存在哪些算子不等式？

主要发现

• 谱几何平均 $A\natural B$ 是在半度量 $d(A,B) = 2\|\log(A^{-1}\#B)\|_2$ 下 $A$ 与 $B$ 的唯一度量中点。
• 标准几何平均 $A\#_t B$ 是在黎曼迹度量 $\delta(A,B) = \|\log(A^{-1/2}BA^{-1/2})\|_2$ 下的唯一黎曼测地线中点。
• 对任意 $A,B \in \mathbb{P}_n$，有不等式 $d(A,B) \leq \delta(A,B)$ 成立，且等号成立当且仅当 $A$ 与 $B$ 可交换。
• 通过谱分解及对数与幂函数的算子单调性，建立了 $A\#_t B$ 与 $A\natural_t B$ 之间的分量一一对应关系。
• 为 $2\times2$ 正定矩阵和可逆密度矩阵，推导出 $A\#_t B$ 与 $A\natural_t B$ 的显式公式，表示为单位矩阵与迹为零矩阵的线性组合。
• 将Ando-Hiai不等式扩展，并给出了一个涉及谱几何平均的充分条件，将其与对数大比分和酉不变范数联系起来。