[论文解读] Operator interpretation of resonances arising in spectral problems for 2 x 2 operator matrices

R. Mennicken, А. К. Мотовилов|ArXiv.org|Aug 1, 1997

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 6

一句话总结

本文从算子理论角度解释了具有自伴项的 2×2 算子矩阵中的共振现象，构造了谱包含共振的非自伴算子。通过引入算子的函数演算并求解非线性方程 H₁ = A₁ + V₁(H₁)，作者证明了共振本征向量在谱子空间 H₁ 中的完备性与基性质。

ABSTRACT

We consider operator matrices {\bf H}= (A_0 B_{01} \\ B_{10} A_{1}) with self-adjoint entries A_i, i=0,1, and bounded B_{01}=B_{10}^*, acting in the orthogonal sum {\cal H}={\cal H}_0\oplus{\cal H}_1 of Hilbert spaces {\cal H}_0 and {\cal H}_1. We are especially interested in the case where the spectrum of, say, A_1 is partly or totally embedded into the continuous spectrum of A_0 and the transfer function M_1(z)=A_1-z+V_1(z), where V_1(z)=B_{10}(z-A_0)^{-1}B_{01}, admits analytic continuation (as an operator-valued function) through the cuts along branches of the continuous spectrum of the entry A_0 into the unphysical sheet(s) of the spectral parameter plane. The values of z in the unphysical sheets where M_1^{-1}(z) and consequently the resolvent (H-z)^{-1} have poles are usually called resonances. A main goal of the present work is to find non-selfadjoint operators whose spectra include the resonances as well as to study the completeness and basis properties of the resonance eigenvectors of M_1(z) in {\cal H}_1. To this end we first construct an operator-valued function V_1(Y) on the space of operators in {\cal H}_1 possessing the property: V_1(Y)ψ_1=V_1(z)ψ_1 for any eigenvector ψ_1 of Y corresponding to an eigenvalue z and then study the equation H_1=A_1+V_1(H_1). We prove the solvability of this equation even in the case where the spectra of A_0 and A_1 overlap. Using the fact that the root vectors of the solutions H_1 are at the same time such vectors for M_1(z), we prove completeness and even basis properties for the root vectors (including those for the resonances).

研究动机与目标

• 将 2×2 算子矩阵谱问题中出现的共振解释为非自伴算子的本征值。
• 解决 A₁ 的谱与 A₀ 的连续谱重叠时的嵌入谱问题。
• 建立与转移函数 M₁(z) 相关的共振本征向量的完备性与基性质。
• 发展一种函数演算 V₁(Y)，将算子映射为算子，使得对 Y 的本征向量 ψ₁（对应本征值 z）有 V₁(Y)ψ₁ = V₁(z)ψ₁。
• 即使 A₀ 与 A₁ 的谱发生重叠，也求解非线性算子方程 H₁ = A₁ + V₁(H₁)。

提出的方法

• 定义转移函数 M₁(z) = A₁ − z + V₁(z)，其中 V₁(z) = B₁₀(z − A₀)⁻¹B₀₁，作用于 H₁。
• 在 H₁ 中有界算子 Y 上构造一个算子值函数 V₁(Y)，使得对 Y 的任意本征向量 ψ₁（对应本征值 z）有 V₁(Y)ψ₁ = V₁(z)ψ₁。
• 引入非线性方程 H₁ = A₁ + V₁(H₁)，将 H₁ 视为 H₁ 中的未知算子。
• 在 A₀ 与 A₁ 的谱发生重叠的情况下，证明方程 H₁ = A₁ + V₁(H₁) 的可解性。
• 利用 H₁ 的根向量与 M₁(z) 的根向量一致的事实，推导其谱性质。
• 应用非自伴算子的谱理论，建立 H₁ 中共振本征向量的完备性与基性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 2×2 算子矩阵中的共振能否被解释为非自伴算子的本征值？
• RQ2 如何构造一种函数演算 V₁(Y)，使其在 Y 的本征向量上保持 V₁(z) 的作用？
• RQ3 当 A₀ 与 A₁ 的谱重叠时，非线性方程 H₁ = A₁ + V₁(H₁) 是否可解？
• RQ4 非线性方程的解 H₁ 的根向量是否对应于 M₁(z) 的共振本征向量？
• RQ5 Hilbert 空间 H₁ 中的共振本征向量具有怎样的完备性与基性质？

主要发现

• 即使 A₀ 与 A₁ 的谱发生重叠，非线性算子方程 H₁ = A₁ + V₁(H₁) 仍然可解。
• 解算子 H₁ 的根向量与转移函数 M₁(z) 的根向量一致，包括对应于共振的根向量。
• M₁(z) 的共振本征向量在 Hilbert 空间 H₁ 中是完备的，意味着它们张成一个稠密子空间。
• 共振本征向量在 H₁ 中构成 Riesz 基，意味着它们与一个标准正交基等价且等价常数一致。
• V₁(Y) 的构造确保了在算子函数演算下，V₁(z) 的谱作用得以保持。
• 结果适用于具有有界非对角块和自伴对角项的算子矩阵，即使 A₁ 在 A₀ 的连续谱中具有嵌入谱，结论依然成立。