[论文解读] Operator Noncommutativity and Irreversibility in Quantum Chaos

Ryusuke Hamazaki, Kazuya Fujimoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本文建立了量子混沌中初始局域态下算符非对易性与不可逆性之间的定量等价关系，表明平方交换子 $ C_{AB}(t) $ 主要由三点反时序关联函数（3-OTOCs）主导，而非四点关联函数。这种等价性源于：当系统初始局域时，通过时间反演测试测量的不可逆性与非对易性增长相匹配，此时由于动力学中高阶修正被抑制，$ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $。

ABSTRACT

We argue that two distinct probes of quantum chaos, i.e., the growth of noncommutativity of two unequal-time operators and the degree of irreversibility in a time-reversal test, are equivalent for initially localized states. We confirm this for interacting nonintegrable many-body systems and a quantum kicked rotor. Our results show that three-point out-of-time-ordered correlators dominate the growth of the squared commutator for initially localized states, in stark contrast to four-point out-of-time-ordered correlators that have extensively been studied for thermal initial states.

研究动机与目标

• 建立量子混沌中两个独立探测量之间的定量联系：算符非对易性与不可逆性。
• 解决关于平方交换子 $ C_{AB}(t) $ 与时间反演不可逆性 $ I_{AB}(t) $ 在混沌系统中关系的开放问题。
• 阐明为何在初始局域态下3-OTOC主导非对易性增长，与热态中4-OTOC占主导形成对比。
• 提供一个理论框架并辅以数值验证，表明在特定动力学条件下，$ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ 对初始局域态成立。

提出的方法

• 推导平方交换子 $ C_{AB}(t) $ 与不可逆性度量 $ I_{AB}(t) $ 之间的一般关系，表明 $ \frac{C_{AB}(t)}{I_{AB}(t)} = \left(1 + \alpha_t \sqrt{\frac{D_{AB}(t)}{I_{AB}(t)}}\right)^2 $，其中 $ \alpha_t $ 为时间依赖因子且满足 $ |\alpha_t| \leq 1 $。
• 引入并分析时间有序关联函数 $ D_{AB}(t) = \langle \hat{B}^\dagger \hat{A}(t)^\dagger \hat{A}(t) \hat{B} \rangle $，证明对于局域初始态有 $ \frac{D_{AB}(t)}{I_{AB}(t)} \ll 1 $，从而支持 $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $。
• 利用半经典近似分析 $ C_{AB}(t) $ 的短时间指数增长，将其与经典轨迹的李雅普诺夫不稳定性联系起来。
• 在非可积多体系统与具有局域初始波包的量子受 kick 旋转系统中进行数值模拟，以验证该等价性。
• 定义并评估 $ s_t $ 与 $ r_t $，用于量化 $ D_{AB}(t)/I_{AB}(t) \ll 1 $ 成立的条件，确认在受 kick 旋转模型中 $ t \gtrsim 3 $ 时该等价性成立。
• 分析 $ I_{AB}(t) $ 与 $ C_{AB}(t) $ 的长时间行为，表明在受 kick 旋转系统中 $ I_{AB}(t) \propto t^2 $，意味着 $ C_{AB}(t) \propto t^2 $，这一结果无法被标准半经典理论捕捉。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始局域态的量子混沌系统中，平方交换子 $ C_{AB}(t) $ 的增长是否与通过时间反演测试测量的不可逆性 $ I_{AB}(t) $ 等价？
• RQ2 为何在初始局域态下三点反时序关联函数（3-OTOCs）主导 $ C_{AB}(t) $ 的增长，而在热态中却是四点关联函数（4-OTOCs）占主导？
• RQ3 在何种动力学条件下可保证 $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ 成立？这些条件能否通过时间有序关联函数如 $ D_{AB}(t) $ 进行量化？
• RQ4 非可积多体系统与周期驱动系统（如量子受 kick 旋转系统）中，非对易性与不可逆性之间的等价性如何体现？
• RQ5 在半经典极限下，$ C_{AB}(t) $ 的长时间行为（如 $ \propto t^2 $）能否得到解析理解，特别是超出依ehrenfest时间之后？

主要发现

• 对于初始局域态，平方交换子 $ C_{AB}(t) $ 与不可逆性度量 $ I_{AB}(t) $ 在数值上等价，即 $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $，这是由于 $ D_{AB}(t)/I_{AB}(t) \ll 1 $ 所致。
• 在初始局域态下，$ C_{AB}(t) $ 的增长由3-OTOC主导，而非4-OTOC，这与热态中观察到的4-OTOC主导形成鲜明对比。
• 在 $ \hbar_{\text{eff}} = 2^{-6} $ 的受 kick 旋转系统中，$ C_{pp}(t) \simeq I_{pp}(t) $ 对 $ t \gtrsim 3 $ 成立，且两者均渐近地按 $ t^2 $ 增长，表明在长时间尺度下呈现非指数性、类似扩散的增长行为。
• 半经典近似预测在依ehrenfest时间 $ t_E \simeq 4 $ 之前 $ C_{pp}(t) $ 呈指数增长，而等价性 $ C_{pp}(t) \simeq I_{pp}(t) $ 暗示不可逆性在短时间也呈指数增长。
• 通过 $ s_t $、$ r_t $ 与 $ \sqrt{s_t r_t} $ 的时间演化验证了等价性的有效性，这些量在 $ t \gtrsim 3 $ 时满足条件，确保了 $ C_{AB}(t) $ 与 $ I_{AB}(t) $ 关系中修正项的微小性。
• 长时间行为 $ C_{pp}(t) \propto t^2 $ 得到物理论证的解析支持，并通过数值模拟得到确认，其结果超出了标准半经典近似的适用范围。