[论文解读] Operator of Time and Properties of Solutions of Schroedinger Equation for Time Dependent Hamiltonian

Slobodan Prvanović, D. Arsenović|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用 3

一句话总结

本文提出在非相对论量子力学中引入时间的自伴算符，将希尔伯特空间形式化扩展至时间作为与位置和动量同等的可观测量。研究推导了两类时变哈密顿量——加法型与乘法型——对应的时变薛定谔方程解的性质，表明解的时间依赖部分表现为广义狄拉克δ函数，其正交性、完备性及傅里叶型变换通过时变相位调制定义。

ABSTRACT

Within the framework of self-adjoint operator of time in non-relativistic quantum mechanics some properties of solutions of Schroedinger equation, related to Hilbert space formalism, are investigated for two types of time dependent Hamiltonian.

研究动机与目标

• 通过引入与位置和动量算符类似的自伴时间算符，扩展量子力学的希尔伯特空间形式化。
• 在此扩展形式化框架内，系统分析时变哈密顿量对应的薛定谔方程解的时间依赖部分。
• 为时变哈密顿量的广义本征函数建立正交性、完备性及变换性质。
• 阐明薛定谔方程在扩展希尔伯特空间框架中作为选择具有非负能量物理态的约束条件的作用。

提出的方法

• 引入一个希尔伯特空间 $\mathcal{H}_t$，其中自伴时间算符 $\hat{t}$ 及其共轭能量算符 $\hat{s}$ 作用，满足标准对易关系 $[\hat{t}, \hat{s}] = i\hbar\hat{I}$。
• 在 $|q\rangle \otimes |t\rangle$ 基下表示解，导出标准时变薛定谔方程 $i\hbar \partial_t \psi(q,t) = \hat{H} \psi(q,t)$。
• 对于 $H = H_0 + g(t)$，推导解为 $\psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ih(t)} e^{iEt}$，其中 $h(t) = \int g(t) dt$，并定义时变傅里叶变换 $\mathcal{F}_h$。
• 对于 $H = H_0 \cdot g(t)$，推导解为 $\psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$，并定义广义变换 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-iE h(t)} dt$，其与标准傅里叶变换通过变量替换相关联。
• 利用广义本征函数及其对偶函数建立双正交性与单位分解，证明 $\langle E', h, \perp | E, h \rangle = \delta(E - E')$。
• 通过分布分析定义函数 $S(E) = \frac{1}{2\pi} \int e^{iE h(t)} dt$ 为一个温和分布，并通过时间反函数的雅可比行列式的逆傅里叶变换表达该函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 根据泡利定理，如何在非相对论量子力学中一致地定义时间算符为自伴算符？
• RQ2 当时间被视为可观测量时，时变薛定谔方程解的数学与物理性质是什么？
• RQ3 在扩展希尔伯特空间形式化中，对于具有加法型或乘法型时间依赖的哈密顿量，波函数的时间依赖部分如何表现？
• RQ4 在此框架中，薛定谔方程在选择具有非负能量的物理态方面起什么作用？
• RQ5 如何为具有时间调制相位的解定义广义傅里叶变换？其反演与正交性性质为何？

主要发现

• 对于哈密顿量 $H = H_0 + g(t)$，解的时间依赖部分为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ih(t)} e^{-iEt}$，其构成算符 $i\partial_t - g(t)$ 的广义本征函数的完备正交集。
• 变换 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-ih(t)} e^{-iEt} dt$ 等价于 $f(t) e^{-ih(t)}$ 的标准傅里叶变换，使得标准调和分析工具可被应用。
• 对于 $H = H_0 \cdot g(t)$，时间依赖解部分 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ 并非正交，但其对偶 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} h'(t) e^{-iE h(t)}$ 确保了双正交性与单位分解。
• 广义变换 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-iE h(t)} dt$ 与标准傅里叶变换的关系为 $\mathcal{F}(f(h^{-1}(t)) \cdot |dh^{-1}/dt|)$，从而实现显式反演。
• 函数 $S(E) = \frac{1}{2\pi} \int e^{iE h(t)} dt$ 作为分布存在，并可表达为 $S(E) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \mathcal{F}^{-1} \left( \left( \frac{dh^{-1}}{dt} \right)^* \right) \right]^*$，将其与时间反函数的雅可比行列式的逆傅里叶变换联系起来。
• 完整解 $\psi_E(q,t) = \psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ 在 $E$ 上保持正交，这是由于 $\psi_E(q)$ 的正交性所致，尽管其时间部分本身并不正交。