[论文解读] Operator scrambling and quantum chaos

Xiaohong Chen, Tianci Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Quantum chaos and dynamical systems被引用 42

一句话总结

本文分析三种模型中的算子乱窜（混沌自旋-1/2 链、2-局部自旋模型，以及修改后的量子线性映射），并展示算子纠缠熵和谱相关性如何信号化乱窜与量子混沌，不同的乱窜时间与 C(t) 行为。

ABSTRACT

Operator scrambling is a crucial ingredient of quantum chaos. Specifically, in the quantum chaotic system, a simple operator can become increasingly complicated under unitary time evolution. This can be diagnosed by various measures such as square of the commutator (out-of-time-ordered correlator), operator entanglement entropy etc. In this paper, we discuss operator scrambling in three representative models: a chaotic spin-$1/2$ chain with spatially local interactions, a 2-local spin model and the quantum linear map. In the first two examples, although the speeds of scrambling are quite different, a simple Pauli spin operator can eventually approach a "highly entangled" operator with operator entanglement entropy taking a volume law value (close to the Page value). Meanwhile, the spectrum of the operator reduced density matrix develops a universal spectral correlation which can be characterized by the Wishart random matrix ensemble. In the second example, we further connect the 2-local model into a one dimensional chain and briefly discuss the operator scrambling there. In contrast, in the quantum linear map, although the square of commutator can increase exponentially with time, a simple operator does not scramble but performs chaotic motion in the operator basis space determined by the classical linear map. We show that once we modify the quantum linear map such that operator can mix in the operator basis, the operator entanglement entropy can grow and eventually saturate to its Page value, thus making it a truly quantum chaotic model.

研究动机与目标

• 将算子乱窜定义为量子混沌的诊断工具并予以动机阐述。
• 在三种代表性模型中探讨乱窜动力学：具有混沌局部自旋链、2-局部哈密顿量以及量子线性映射。
• 通过算子纠缠熵与约简密度矩阵谱来刻画乱窜。
• 比较不同模型中的 Lyapunov 类增长律与乱窜时间。
• 展示在算子基底中何时以何种方式出现普适的谱相关性。

提出的方法

• 通过 Heisenberg 进化的算子及其在 Pauli 基底中的展开来定义算子乱窜。
• 使用算子长度/高度分布和一个约简密度矩阵来量化乱窜（算子 EE 与纠缠谱）。
• 将平方对易子 C(t) 作为混沌动力学诊断。
• 计算算子-约简密度矩阵的谱形因子以检测 Wishart-随机矩阵类似的相关性。
• 对于量子线性映射，将算子空间中的混沌运动与真正的乱窜进行比较，并展示非线性扰动如何诱发乱窜。

实验结果

研究问题

• RQ1 算子乱窜在不同的混沌量子系统中如何表现（局域与非局域相互作用）？
• RQ2 算子纠缠熵与谱相关性在诊断乱窜与各模型的混沌中起到何种作用？
• RQ3 量子线性映射是否能呈现真正的乱窜，扰动如何影响这一行为？
• RQ4 对于每个模型，特征乱窜时间及其如何随系统规模或映射参数变化？
• RQ5 在算子谱中随机矩阵理论的标志（Wishart 系列）如何在乱窜推进时显现？

主要发现

• 在具有局域相互作用的自旋-1/2 链中，局部Pauli算子非局部增长，乱窜时间与系统规模成比例（不存在指数级的 C(t) 区间）。
• 在 2-局部哈密顿量中，乱窜很快，乱窜时间为 log N 的尺度，且 C(t) 在早期呈现指数增长；算子 EE 接近 Page 值，谱相关性通过 Wishart 系列显现。
• 在量子线性映射中，C(t) 可能因经典混沌而指数增长，但除非添加非线性扰动，否则在算子空间中不会发生乱窜；扰动后，算子 EE 收敛到 Page 值，谱相关性出现；乱窜时间以 f(κ) log K 为尺度。
• 算子-约简密度矩阵的谱形因子所揭示的普适谱相关性随子系统的完全乱窜而出现。
• 一维扩展以及 Fisher/Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov 动力学提示算子在空间上的传播呈旅行波行为，与扩展系统中的乱窜并行。