[论文解读] Operator Size for Holographic Field Theories

Alexandros Mousatov|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用 6

一句话总结

本文为全息CFT提出了一个与状态相关的算符大小定义，将Qi-Streicher公式推广至高维AdS几何。该研究将算符大小与体量子观测量关联——具体而言，在BTZ黑洞中为Kruskal动量之和，在真空AdS₃中为全局哈密顿量——并提供了一种双重解释：即下落者引力场中虚 gravitons 的数量，其饱和值达到黑洞熵的尺度。

ABSTRACT

We formulate a state-dependent definition of operator size that captures the effective size of an operator acting on a reference state. We apply our definition to the SYK model and holographic 2-dimensional CFTs, generalizing the Qi-Streicher formula to a large class of geometries which includes pure AdS$_3$ and BTZ black holes. In pure AdS$_3$, the operator size is proportional to the global Hamiltonian at leading order in $1/N$, mirroring the results of Lin-Maldacena-Zhao in AdS$_2$. For BTZ geometries, it is given by the sum of the Kruskal momenta. Higher $1/N$ corrections become relevant when backreaction gets large, and we expect a transition in the growth pattern that depends on the transverse profile of the excitation. We propose a bulk dual that captures this profile dependence and exhibits saturation at a size of order the black hole entropy. This bulk dual is an averaged eikonal phase over a class of scattering events, and it can be interpreted as the "number of virtual gravitons" in the gravitational field created by an infaller.

研究动机与目标

• 将Qi-Streicher公式中的算符大小定义从热密度矩阵推广至纯态和无限维场论。
• 建立适用于全息二维CFT和SYK类模型的一致、与状态相关的算符大小定义。
• 在纯AdS₃和BTZ黑洞几何中，识别算符大小的体引力对偶。
• 将算符大小与体中的物理可观测量（如冲击波强度和虚引力子数）联系起来。
• 探讨更高阶$1/N$修正如何改变算符大小的增长，并揭示由于反作用导致的动力学行为转变。

提出的方法

• 将算符大小定义为作用于参考态$|\Psi\rangle$的正半定厄米算符$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$的期望值，使得$S_{|\Psi\rangle}(\mathcal{O}) = \frac{\langle\Psi|\mathcal{O}^\dagger \hat{S}_{|\Psi\rangle} \mathcal{O}|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\mathcal{O}^\dagger \mathcal{O}|\Psi\rangle}$。
• 利用该定义，在高度对称的态（包括热场双态$|\beta\rangle$、时间平移的热场双态以及单侧黑洞态）中计算$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$。
• 在真空AdS₃中，证明$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$在$1/N$的主导阶下与全局哈密顿量成正比，与Lin-Maldacena-Zhao的结果一致。
• 在BTZ黑洞中，将$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$识别为Kruskal动量之和，从而将算符大小与冲击波强度联系起来。
• 提出体对偶解释：作为散射过程的平均eikonal相位，代表下落者引力场中虚引力子的数量。
• 建立算符大小保持有限且连续的条件，要求态的能级分布满足$|c_n|^2 \lesssim C_1 e^{-\beta n}$的指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维全息CFT的纯态中，如何一致地定义算符大小，超越热密度矩阵的范畴？
• RQ2 在真空AdS₃和BTZ黑洞几何中，算符大小的体引力对偶是什么？
• RQ3 算符大小如何随时间增长，$1/N$修正在其中扮演何种角色？
• RQ4 算符大小能否被解释为体中的物理可观测量，例如虚引力子的数量？
• RQ5 算符大小的饱和尺度由什么决定，其与黑洞熵有何关联？

主要发现

• 在真空AdS₃中，算符大小在$1/N$的主导阶下与全局哈密顿量成正比，与Lin-Maldacena-Zhao在AdS₂中的结果一致。
• 在BTZ黑洞中，算符大小由Kruskal动量之和给出，直接将其与冲击波强度和引力动力学联系起来。
• 当反作用显著时，更高阶$1/N$修正变得重要，预示着算符大小增长模式可能发生转变。
• 算符大小在接近黑洞熵量级时趋于饱和，暗示其与Bekenshtein-Hawking熵存在根本关联。
• 算符大小的体对偶被解释为散射过程的平均eikonal相位，对应于下落者引力场中虚引力子的数量。
• 该定义确保了在具有指数衰减能级分布的‘合理’态中，算符大小保持有限且连续，避免了时间演化算符的病态行为。