[论文解读] Operators near completely polynomially dominated ones and similarity problems

Cătălin Badea|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2001

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文证明，当算子在β-二次接近的意义下接近完全多项式有界的算子时，其与原算子和加权单边移位算子的直和所生成的算子相似。主要贡献在于提出了一项改进的相似性准则，扩展了Paulsen的工作，并解决了CAR-值Foguel-Hankel算子问题的部分情况，包括Rota定理在巴拿赫空间中的版本。

ABSTRACT

Let T and C be two Hilbert space operators. We prove that if T is near, in a certain sense, to an operator completely polynomially dominated with a finite bound by C, then T is similar to an operator which is completely polynomially dominated by the direct sum of C and a suitable weighted unilateral shift. Among the applications, a refined Banach space version of Rota similarity theorem is given and partial answers to a problem of K. Davidson and V. Paulsen are obtained. The latter problem concerns CAR-valued Foguel-Hankel operators which are generalizations of the operator considered by G. Pisier in his example of a polynomial bounded operator not similar to a contraction.

研究动机与目标

• 研究接近完全多项式有界算子的算子与原算子和加权单边移位算子直和所生成算子之间的相似性。
• 为谱半径小于1的巴拿赫空间算子提供Rota相似性定理的改进版本。
• 解决K. Davidson与V. Paulsen关于CAR-值Foguel-Hankel算子与压缩算子相似性的猜想。
• 将Paulsen的完全多项式有界相似性准则推广至更广泛的接近算子类。
• 建立相似性在等距/酉算子下的稳定性，分析仅在多项式有界性下相似性失效的原因。

提出的方法

• 引入希尔伯特空间算子T与C之间的β-二次接近概念，通过控制序列β(n)来定义||T^n - V₁C^nV₂||的范数。
• 利用分解x = Σ T^k x_k并赋予权重β(k)，通过下确界构造新的加权范数|x|，从而构建新的巴拿赫空间结构。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与算子范数估计，控制T与被C ⊕ S_w(β)完全多项式有界的算子之间的相似常数。
• 将主要相似性结果（定理3.3）约化为关键的技术性估计（定理4.1），涉及||T^k - V₁C^kV₂||与权重序列β的范数。
• 利用伴随算子与谱半径控制，证明渐近接近等距/酉算子的算子与等距/酉算子相似。
• 在ℓ_p(X)上应用商范数构造，定义X上的新范数，从而证明巴拿赫空间版本的Rota型定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当算子T接近完全多项式有界的算子C时，在何种条件下T与压缩算子相似？
• RQ2 Davidson与Paulsen提出的问题中，CAR-值Foguel-Hankel算子与压缩算子的相似性能否被刻画？
• RQ3 与压缩算子相似的算子类在β-二次接近下是否稳定？
• RQ4 渐近接近等距/酉算子是否意味着与等距/酉算子相似？
• RQ5 能否通过加权范数与加权移位算子的直和，将Rota定理关于与压缩算子相似性的结论推广至巴拿赫空间？

主要发现

• 若算子T在β-二次意义下接近完全多项式有界的算子C，则T与被C ⊕ S_w(β)完全多项式有界的算子相似，其中S_w(β)为加权单边移位算子。
• 相似常数有界于[||V₁||²/γ² + s²]^{1/2} [γ²||V₂||² + β(0)²]^{1/2}，其中当s ≠ 0时，γ取值为[β(0)||V₁*|| / (s||V₂||)]^{1/2}。
• 若s = 0，则T被C完全多项式有界，其有界常数为||V₁||·||V₂||，相似常数有界于||V₁||·||V₂||。
• 渐近接近等距算子的算子与等距算子相似；渐近接近酉算子的算子与酉算子相似，尽管多项式有界且接近压缩算子的算子未必与压缩算子相似。
• 证明了巴拿赫空间版本的Rota定理：当p > 1且X上算子T的谱半径小于1时，T与空间ℓ_p(X)上同构的算子T₁相似，且T₁被ℓ_p(X)上单边移位算子完全多项式有界。
• 本文为CAR-值Foguel-Hankel算子与压缩算子相似性提供了充分条件，解决了Davidson-Paulsen问题的部分情况。