[论文解读] Optimal actuator design for vibration control based on LQR performance and shape calculus

M. Sajjad Edalatzadeh, Dante Kalise+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Topology Optimization in Engineering参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文提出一种基于形状微分的优化方法，用于在Euler-Bernoulli梁中通过线性二次型调节器（LQR）性能指标和拓扑导数，优化用于振动控制的作动器设计。通过将最优作动器形状表述为LQR代价函数拓扑导数的驻点，该方法采用水平集法进行数值实现，在Kelvin-Voigt阻尼下实现1000倍的代价降低，并收敛至稳定、多组件的作动器形状。

ABSTRACT

Optimal actuator design for a vibration control problem is calculated. The actuator shape is optimized according to the closed-loop performance of the resulting linear-quadratic regulator and a penalty on the actuator size. The optimal actuator shape is found by means of shape calculus and a topological derivative of the linear-quadratic regulator (LQR) performance index. An abstract framework is proposed based on the theory for infinite-dimensional optimization of both the actuator shape and the associated control problem. A numerical realization of the optimality condition is presented for the actuator shape using a level-set method for topological derivatives. A Numerical example illustrating the design of actuator for Euler-Bernoulli beam model is provided.

研究动机与目标

• 开发一种基于闭环LQR性能的分布式参数系统中最优作动器形状设计的系统性框架。
• 解决在作动器位置优化之外，缺乏最优作动器形状设计的理论与数值方法的问题。
• 确保具有形状相关控制算子的线性演化方程抽象最优控制问题的适定性。
• 建立最优作动器形状关于空间与时间离散化的收敛条件。
• 在具有粘性阻尼与Kelvin-Voigt阻尼的线性Euler-Bernoulli梁模型上，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 将最优作动器设计表述为在允许的控制输入u与作动器形状r下最小化LQR代价函数J(u,r;z₀)。
• 引入LQR代价函数的拓扑导数，通过小孔插入或删除的敏感性来表征最优作动器形状。
• 利用拓扑导数推导作动器形状的必要最优性条件，从而得到水平集函数的符号条件。
• 采用带符号距离函数的水平集法演化作动器边界，根据拓扑导数梯度更新形状。
• 在惩罚参数α上实施线搜索与延续策略，以避免次优解并确保收敛。
• 使用前N=40阶特征模态对梁动力学进行离散化，并求解得到的Riccati方程，以数值方式计算Kalman增益与代价函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过LQR代价函数的拓扑导数表征线性分布式参数系统的最优作动器形状？
• RQ2 Kelvin-Voigt阻尼的引入如何影响最优作动器形状关于空间离散化的收敛性？
• RQ3 所提出的基于拓扑导数最优性条件的水平集方法是否能产生稳定、多组件的作动器形状？
• RQ4 作动器尺寸约束与控制惩罚对最优作动器收敛性与性能有何影响？
• RQ5 该方法能否扩展至非线性柔性结构？在缺乏结构阻尼时存在哪些局限性？

主要发现

• 所提方法在70次迭代内实现LQR代价函数J₁,N降低1000倍，显著提升性能。
• 最优作动器形状收敛至稳定、双组件配置，与初始条件的节点结构（sin(3πx)）一致。
• 在同时存在粘性阻尼与Kelvin-Voigt阻尼时，Kalman增益与最优作动器形状随模态离散化数量增加而收敛。
• 在无Kelvin-Voigt阻尼（Cd=0）时，Kalman增益无法收敛，且最优作动器形状在更高模态近似下持续分裂为更多组件。
• 结合线搜索与α延续的水平集算法成功避免次优解，并确保代价单调下降。
• 采用最优作动器的闭环性能在状态抑制与控制努力方面均优于同等尺寸的单组件次优作动器。