[论文解读] Optimal Actuator Location of the Minimum Norm Controls for Heat Equation with General Controlled Domain

Bao‐Zhu Guo, Yashan Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 26被引用 4

一句话总结

本论文提出一种博弈论框架，用于确定具有时变执行器区域（固定勒贝格测度）的多维热方程的最优执行器位置及相应的最小范数控制。通过将执行器位置与控制输入之间的纳什均衡问题形式化，作者建立了最优经典解的存在性与唯一性，并合成出与初始数据无关的状态反馈律。

ABSTRACT

In this paper, we study optimal actuator location of the minimum norm controls for a multi-dimensional heat equation with control defined in the space $L^p(0,T;L^2(Ω))$. The actuator domain $ω$ is quite general in the sense that it is required only to have a prescribed Lebesgue measure. A relaxation problem is formulated and is transformed into a two-person zero-sum game problem. By the game theory, we develop a necessary and sufficient condition and the existence of relaxed optimal actuator location for $p\in[2,+\infty]$, which is characterized by the Nash equilibrium of the associated game problem. An interesting case is for the case of $p=2$, for which it is shown that the classical optimal actuator location can be obtained from the relaxed optimal actuator location without additional condition. Finally for $p=2$, a sufficient and necessary condition for classical optimal actuator location is presented.

研究动机与目标

• 确定在具有固定测度的时变区域内，使多维热方程中控制输入范数最小化的最优执行器位置。
• 解决多维抛物型PDE中关于最优执行器位置结果的缺乏，特别是针对一维情况之外的情形。
• 通过联合合成最优执行器位置与控制输入，构建与初始条件无关的反馈控制律。
• 利用博弈论方法，建立开环系统最优经典解的存在性与唯一性。
• 推广先前关于一维问题的结果，并解决关于一般受控区域下抛物方程最小范数控制的开放问题。

提出的方法

• 将执行器区域选择与控制设计形式化为双人纳什均衡问题，其中一名参与者选择执行器位置，另一名参与者选择控制输入。
• 将允许的执行器区域集合 $\mathcal{W}_{s,T}$ 定义为在每个时间 $t \in (s,T)$ 下，$\Omega$ 的可测子集，其勒贝格测度固定为 $\alpha \cdot m(\Omega)$。
• 利用伴随系统与对偶性，表征给定执行器区域下的最小范数控制，从而通过求解黎卡提型方程得到控制的最优性条件。
• 利用纳什均衡框架，建立最优松弛解的必要与充分条件，确保执行器位置与控制输入同时达到最优。
• 构造反馈律 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{G}$，分别将当前状态映射到最优执行器位置与控制输入，确保其与初始数据无关。
• 通过验证反馈律满足所需的正则性与连续性条件，证明闭环系统经典解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有固定测度的时变区域内，使多维热方程控制输入范数最小化的最优执行器位置是什么？
• RQ2 如何联合设计最优控制与执行器位置，使得所得反馈律与初始数据无关？
• RQ3 能否使用纳什均衡框架，同时优化具有通用受控区域的抛物型PDE的执行器位置与控制输入？
• RQ4 在可变执行器区域下的最小范数控制背景下，何种条件可确保最优经典解的存在性与唯一性？
• RQ5 所提方法如何推广先前关于一维系统的成果，并解决抛物方程最优执行器位置中的开放问题？

主要发现

• 通过纳什均衡框架联合确定最优执行器位置与对应的最小范数控制，确保两者同时最优。
• 在所提框架下，建立了开环系统最优经典解的存在性与唯一性。
• 最优反馈控制与执行器位置被合成至与初始数据无关的状态反馈律 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{G}$ 中。
• 解满足闭环系统 (1.4)，其中 $y^{{\cal F},{\cal G}}(T; s, \xi) = 0$，确保以最小控制能量实现零可控性。
• 反馈律在时间上定义良好且连续，对所有 $t \in [s,T)$ 满足 $\mathcal{F}(t, y(\cdot,t)) = w^{s,\xi}(t)$ 与 $\mathcal{G}(t, y(\cdot,t)) = u^{s,\xi}(t)$。
• 通过反证法证明控制与执行器位置的最优性：任何偏离都将导致控制范数严格减小，从而违反原始解的最优性。