[论文解读] Optimal Acyclic Hamiltonian Path Completion for Outerplanar Triangulated st-Digraphs (with Application to Upward Topological Book Embeddings)

Tamara Mchedlidze, Antonios Symvonis|ArXiv.org|Jul 15, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对外平面三角剖分st-有向图的无环哈密顿路径完成问题（边交叉最小化）的线性时间算法，实现每条边最多一个交叉。该研究建立了该问题与向上2页拓扑书嵌入之间的等价性，从而实现了最优的脊柱交叉最小化，并为该类有向图提供了首个此类算法。

ABSTRACT

Given an embedded planar acyclic digraph G, we define the problem of "acyclic hamiltonian path completion with crossing minimization (Acyclic-HPCCM)" to be the problem of determining an hamiltonian path completion set of edges such that, when these edges are embedded on G, they create the smallest possible number of edge crossings and turn G to a hamiltonian digraph. Our results include: --We provide a characterization under which a triangulated st-digraph G is hamiltonian. --For an outerplanar triangulated st-digraph G, we define the st-polygon decomposition of G and, based on its properties, we develop a linear-time algorithm that solves the Acyclic-HPCCM problem with at most one crossing per edge of G. --For the class of st-planar digraphs, we establish an equivalence between the Acyclic-HPCCM problem and the problem of determining an upward 2-page topological book embedding with minimum number of spine crossings. We infer (based on this equivalence) for the class of outerplanar triangulated st-digraphs an upward topological 2-page book embedding with minimum number of spine crossings and at most one spine crossing per edge. To the best of our knowledge, it is the first time that edge-crossing minimization is studied in conjunction with the acyclic hamiltonian completion problem and the first time that an optimal algorithm with respect to spine crossing minimization is presented for upward topological book embeddings.

研究动机与目标

• 解决平面嵌入的无环有向图中的无环哈密顿路径完成问题（边交叉最小化）。
• 刻画可接受哈密顿路径的三角剖分st-有向图的性质。
• 为外平面三角剖分st-有向图设计一种线性时间算法，实现每条边最多一个交叉。
• 建立无环HPCCM问题与具有最小脊柱交叉数的向上2页拓扑书嵌入之间的等价性。
• 为外平面三角剖分st-有向图提供首个关于脊柱交叉最小化的最优算法。

提出的方法

• 引入外平面三角剖分st-有向图的st-多边形分解，以利用其结构特性实现高效计算。
• 设计一种线性时间算法，通过利用st-多边形分解，计算出每条边最多一个交叉的无环HP完成集合。
• 证明无环HPCCM问题与寻找具有最小脊柱交叉数的向上2页拓扑书嵌入问题之间的等价性。
• 通过将顶点放置在脊柱上并跨页面路由边，从HP完成图构建书嵌入，其中脊柱交叉对应于HP完成图中的边交叉。
• 通过在脊柱上保持拓扑顺序并强制边方向单调，确保书嵌入的向上性。
• 通过反证法验证结果图的无环性：任何环都需包含一条向下边，这将违反书嵌入的向上性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，三角剖分st-有向图是哈密顿图？
• RQ2 对于外平面三角剖分st-有向图，能否在O(n)时间内最优求解无环哈密顿路径完成问题（边交叉最小化）？
• RQ3 无环HPCCM与具有最小脊柱交叉数的向上2页拓扑书嵌入之间是否存在结构等价性？
• RQ4 能否为外平面三角剖分st-有向图最优地最小化向上2页书嵌入中的脊柱交叉数？
• RQ5 此类嵌入中每条边的最小交叉数是多少，且该值是否可被界定？

主要发现

• 给出了三角剖分st-有向图为哈密顿图的刻画条件。
• 对于外平面三角剖分st-有向图，提出了一种线性时间算法，可实现每条边最多一个交叉的无环HPCCM问题求解。
• 建立了无环HPCCM问题与寻找具有最小脊柱交叉数的向上2页拓扑书嵌入问题之间的等价性。
• 该算法生成具有最小脊柱交叉数的向上2页拓扑书嵌入，且每条边最多一个脊柱交叉。
• 所提算法在脊柱交叉最小化方面是最优的，据作者所知，这是该类有向图的首个此类算法。
• 该方法实现了交叉数最优的HP完成集合，图18表明，尽管某些完成集合的每条边交叉数较高，但其总交叉数更少。