[论文解读] Optimal Algorithms for Learning Quantum Phase States

Srinivasan Arunachalam, Sergey Bravyi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文提出了针对与度数为d的布尔多项式相关的n-量子比特量子相位态的最优算法，表明在使用可分测量时样本复杂度为Θ(nd)，在使用纠缠测量时样本复杂度为Θ(nd−1)。所提出的算法仅使用单量子比特的Pauli X和Z基测量，可实现近期量子优势的演示，并高效学习Clifford层级中的对角酉操作和IQP电路。

ABSTRACT

We analyze the complexity of learning $n$-qubit quantum phase states. A degree-$d$ phase state is defined as a superposition of all $2^n$ basis vectors $x$ with amplitudes proportional to $(-1)^{f(x)}$, where $f$ is a degree-$d$ Boolean polynomial over $n$ variables. We show that the sample complexity of learning an unknown degree-$d$ phase state is $Θ(n^d)$ if we allow separable measurements and $Θ(n^{d-1})$ if we allow entangled measurements. Our learning algorithm based on separable measurements has runtime $ extsf{poly}(n)$ (for constant $d$) and is well-suited for near-term demonstrations as it requires only single-qubit measurements in the Pauli $X$ and $Z$ bases. We show similar bounds on the sample complexity for learning generalized phase states with complex-valued amplitudes. We further consider learning phase states when $f$ has sparsity-$s$, degree-$d$ in its $\mathbb{F}_2$ representation (with sample complexity $O(2^d sn)$), $f$ has Fourier-degree-$t$ (with sample complexity $O(2^{2t})$), and learning quadratic phase states with $\varepsilon$-global depolarizing noise (with sample complexity $O(n^{1+\varepsilon})$). These learning algorithms give us a procedure to learn the diagonal unitaries of the Clifford hierarchy and IQP~circuits.

研究动机与目标

• 确定使用可分测量学习由度数为d的布尔多项式定义的n-量子比特相位态的最优样本复杂度。
• 开发仅使用单量子比特测量的高效学习协议，适用于近期量子设备。
• 将学习协议扩展至具有复值振幅的广义相位态以及存在噪声或稀疏情况的实例。
• 通过相位态层析成像实现对Clifford层级中对角酉操作和IQP电路的学习。
• 在各种设置下（包括稀疏性和噪声）建立样本复杂度的紧致上下界。

提出的方法

• 使用可分测量——对每个相位态的单份副本进行测量——以实现高效且近期可实现的协议。
• 利用度数为d的多项式f(x)在F2上的表示，通过GF(2)上的傅里叶分析重构相位态。
• 应用多线性分解和多项式重构技术，从测量统计中识别f(x)中的单项式。
• 对于纠缠测量，对多份副本进行联合测量以提取高阶相关性，从而降低样本复杂度。
• 使用受控相位门和对角酉操作合成方法，从学习到的多项式重构电路表示。
• 通过改进的学习框架，将算法适应于具有q次单位根和存在噪声或稀疏多项式的广义相位态。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用可分测量学习度数为d的相位态时，最优样本复杂度是多少？
• RQ2 当允许使用纠缠测量时，样本复杂度如何变化？
• RQ3 学习协议能否扩展至具有复振幅和更高阶Clifford层级酉操作的广义相位态？
• RQ4 当相位多项式f的稀疏度为s且度数为d时，样本复杂度是多少？
• RQ5 全局或局部去极化噪声对相位态学习的样本复杂度有何影响？

主要发现

• 使用可分测量学习度数为d的二值相位态时，样本复杂度为Θ(nd)，对于常数d，运行时间为多项式时间。
• 使用纠缠测量时，样本复杂度降低至Θ(nd−1)，对d ≥ 2实现了最优标度。
• 对于具有q = 2d的广义相位态，使用可分测量时样本复杂度仍为Θ(nd)，运行时间为关于nd log q的指数时间。
• 当f具有稀疏度-s且度数为d时，样本复杂度为O(2dsn)，对低稀疏多项式实现高效学习。
• 在全局去极化噪声ε下，二次相位态的样本复杂度标度为O(n1+ε)，显示出对噪声的鲁棒性。
• 结果使得通过相位态层析成像，能够高效学习d阶Clifford层级中的对角酉操作和IQP电路。