[论文解读] Optimal bilinear control of nonlinear stochastic Schrödinger equations driven by linear multiplicative noise

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文证明了线性多重噪声驱动的非线性随机薛定谔方程存在开环最优控制，并利用斯科罗霍德表示定理、埃克兰德变分原理以及线性化对偶倒向随机方程的新存在性结果，推导出一阶最优性条件。该方法适用于随机与确定性情形，为不确定条件下的双线性量子控制提供了严格的分析框架。

ABSTRACT

Here is investigated the bilinear optimal control problem of quantum mechanical systems with final observation governed by a stochastic nonlinear Schrödinger equation perturbed by a linear multiplicative Wiener process. The existence of an open loop optimal control and first order Lagrange optimality conditions are derived, via Skorohod's representation theorem, Ekeland's variational principle and the existence for the linearized dual backward stochastic equation. Moreover, our approach in particular applies to the deterministic case.

研究动机与目标

• 解决非线性随机薛定谔方程在具有线性多重噪声条件下的最优控制这一开放问题。
• 为受此类方程支配的量子系统建立开环最优控制的存在性。
• 在存在随机扰动的情况下，推导一阶拉格朗日最优性条件。
• 将该框架扩展至确定性情形，作为其特例。
• 为连续测量与噪声下量子系统中的双线性控制提供严格的分析基础。

提出的方法

• 利用斯科罗霍德表示定理处理控制空间中的弱收敛。
• 应用埃克兰德变分原理推导必要最优性条件。
• 通过精确的随机估计，建立线性化对偶倒向随机方程解的存在性。
• 采用具有时变系数的线性薛定谔方程的斯特里科夫类型估计。
• 通过变换 $ y = e^{-W}X $ 实现重标度，将方程转化为可应用确定性斯特里科夫估计的形式。
• 在控制序列的 $ L^1(0,T;\mathbb{R}^m) $ 中使用总变差与连续性模条件，实施紧致性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有线性多重噪声和双线性控制结构的非线性随机薛定谔方程，是否存在最优控制？
• RQ2 此类控制问题的一阶必要最优性条件是什么？
• RQ3 在系数的一般假设下，能否建立对偶倒向随机方程解的存在性？
• RQ4 随机扰动如何影响概率的守恒性以及系统的适定性？
• RQ5 该框架能否作为极限情形扩展至确定性情形？

主要发现

• 对于具有线性多重噪声的非线性随机薛定谔方程的双线性控制问题，存在开环最优控制。
• 通过埃克兰德变分原理与对偶倒向方程，推导出一阶拉格朗日最优性条件。
• 通过线性薛定谔方程的精确随机估计，建立了线性化对偶倒向随机方程解的存在性。
• 证明了控制到状态映射在适当的拓扑下具有连续性，支持最优控制的存在性。
• 该框架适用于确定性情形，当噪声消失时，可恢复已知结果作为特例。
• 在可积性与正则性条件下，证明了控制律在 $ L^1(0,T;\mathbb{R}^m) $ 中的紧致性，确保弱收敛。