[论文解读] Optimal Binary Locally Repairable Codes via Anticodes

Natalia Silberstein, Alexander Zeh|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 15被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新颖的构造方法，利用单纯形码导出的反码，构建最优二元局部可修复码（LRCs），局部性分别为 r=2 和 r=3。通过从生成矩阵中删除特定列（构成反码），该方法生成的码能够达到 Cadambe–Mazumdar 界，并且在许多情况下也满足 Griesmer 界，从而确保二元码在局部可修复性和最大最小距离方面均达到最优。

ABSTRACT

This paper presents a construction for several families of optimal binary locally repairable codes (LRCs) with small locality (2 and 3). This construction is based on various anticodes. It provides binary LRCs which attain the Cadambe-Mazumdar bound. Moreover, most of these codes are optimal with respect to the Griesmer bound.

研究动机与目标

• 构建具有小局部性（r=2 和 r=3）的最优二元局部可修复码（LRCs），使其达到 Cadambe–Mazumdar 界。
• 提出一种基于反码的构造方法，以实现具有高最小距离和高效局部可修复性的二元 LRCs。
• 证明所提出的码在许多情况下也达到 Griesmer 界，从而实现额外的最优性。
• 通过提供在 Cadambe–Mazumdar 界和 Griesmer 界下均最优的显式构造，扩展先前关于二元 LRCs 的研究。

提出的方法

• 该构造方法通过从二元单纯形码的生成矩阵中删除对应于反码的列，得到修改后的生成矩阵。
• 反码被定义为最大权重受限的向量集合，以确保所得码保持所需的局部性和距离特性。
• 对于 r=2，该方法采用 Farrell 构造，以维度为 m-2 的单纯形码作为反码，得到长度为 n = 2^m - 2^{m-2}、维度为 k = m 的码。
• 对于 r=3，采用不同的反码结构，源自维度为 m-3 的单纯形码，得到参数为 [n,k,d] = [2^m - 2^{m-3}, m, 2^{m-3}] 的码。
• 对于 r=2，采用基于子空间码的构造方法，使用 F_2^s 中二维子空间的关联向量。
• 校验矩阵由维度恒为 2、距离平凡的提升秩-距离码的码字构成，生成具有局部性 2 的拟循环 LRCs。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出在 r=2 和 r=3 时同时达到 Cadambe–Mazumdar 界与 Griesmer 界的最优二元 LRCs？
• RQ2 何种反码结构可实现具有小局部性和高最小距离的二元 LRCs？
• RQ3 如何将基于反码的 Farrell 构造方法改进，以生成在多个界下均最优的二元 LRCs？
• RQ4 所提出的构造方法是否能产生既具有局部可修复性，又在长度与维度下最小距离最优的码？

主要发现

• 该构造方法生成的具有局部性 r=2 和 r=3 的二元 LRCs 在所有考虑情况下均达到 Cadambe–Mazumdar 界。
• 多个码族，包括定理 4 和定理 7 中的码，与 Griesmer 界相等，表明其具有额外的最优性。
• 当 s=5 时，定理 7 中的码 [24,5,12] 同时达到 Cadambe–Mazumdar 界与 Griesmer 界。
• 定理 6 中的码 [31,6,15]（局部性 r=3）在 Cadambe–Mazumdar 界下最优，且同样满足 Griesmer 界。
• 通过子空间码构造方法，得到一族 [3·2^{s-2}, s, 3·2^{s-3}] 的 r=2 LRCs，其在 Cadambe–Mazumdar 界下达到最优。
• 该方法通过仅基于反码约束从单纯形码中删除列，推广了先前的构造，实现了具有小局部性和最优参数的二元 LRCs。