[论文解读] Optimal bounds for decay of correlations and α-mixing for nonuniformly hyperbolic dynamical systems

Sandro Vaienti, Hong-Kun Zhang|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 65被引用 6

一句话总结

本文通过基于概率更新理论的新型耦合方法，建立了具有奇点的非一致双曲动力系统中相关性和α-混合的最优多项式衰减速率。研究证明，Bunimovich台球、半分散台球和尖点台球等系统表现出阶为 $ n^{-1} $ 的精确衰减速率，验证了长期猜想的界，并通过α-混合性支持了广泛的一系列极限定理。

ABSTRACT

We investigate the decay rates of correlations for nonuniformly hyperbolic systems with or without singularities, on piecewise Hölder observables. By constructing a new scheme of coupling methods using the probability renewal theory, we obtain the optimal bounds for decay rates of correlations for a large class of such observables. We also establish the alpha-mixing property for time series generated by these systems, which leads to a vast ranges of limiting theorems. Our results apply to rather general hyperbolic systems with singularities, including Bunimovich flower billiards, semidispersing billiards on a rectangle and billiards with cusps, and other nonuniformly hyperbolic maps.

研究动机与目标

• 建立具有奇点的非一致双曲系统中相关性的最优多项式衰减速率。
• 证明由此类系统生成的时间序列的α-混合性质，从而支持广泛的一系列极限定理。
• 开发一种基于更新理论的新耦合框架，以应对由无界畸变和奇点附近相空间碎片化带来的挑战。
• 验证特定类台球系统（包括具有尖点的系统和矩形上的半分散台球）的衰减速率的精确性。
• 通过提供一种通用且可重用的方法，统一并扩展先前关于相关性衰减的研究成果，适用于一大类双曲系统。

提出的方法

• 利用概率更新理论，为诱导映射开发一种新型耦合方法，以控制奇异系统中返回时间和畸变。
• 构造一个双曲集 $ ilde{ ho}^* $，并利用标准对分析动态Hölder连续可观测量。
• 应用增长引理控制诱导系统中的扩张与收缩速率，确保一致的畸变界。
• 通过更新性质和对双曲集的恰当返回，将诱导映射的结果回传至原系统。
• 采用Dolgopyat耦合技术的改进版本，适配非一致双曲性与奇点，以推导出精确界。
• 通过估计返回时间的尾概率，验证α-混合的条件(H3)或(H3′)，使用 $ u_n(R(F^i(x)) > n^{1/2+e}) o 0 $ 且衰减速率为 $ O(n^{-1/2e}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有奇点的非一致双曲系统（如混沌台球）中，相关性的最优衰减速率是什么？
• RQ2 能否为这些系统生成的时间序列建立α-混合性质？其对极限定理有何含义？
• RQ3 耦合技术如何适应处理奇点附近的无界畸变与相空间碎片化？
• RQ4 Bunimovich花形台球和矩形上的半分散台球是否实现相关性的精确 $ n^{-1} $ 衰减速率？
• RQ5 返回时间分布的何种条件可确保非一致双曲系统中实现最优混合与相关性衰减？

主要发现

• 本文为一大类非一致双曲系统（包括Bunimovich花形台球和矩形上的半分散台球）建立了相关性最优多项式衰减速率 $ O(n^{-1}) $。
• 证明了由这些系统生成的时间序列具有α-混合性质，这意味着包括中心极限定理和弱不变性原理在内的广泛极限定理均成立。
• 对于具有尖点的台球，衰减速率被证明为 $ O(n^{-1}) $，且返回时间尾概率满足 $ u_n(R(F^i(x)) > n^{1/2+e}) o 0 $，衰减速率为 $ O(n^{-1/2e}) $，从而验证了条件(H3′)。
• 对于半分散台球，通过验证条件(H3)(b)（其中 $ q = 1/2 - e $，$ p = 1/(2e) $），确认了相同的 $ O(n^{-1}) $ 衰减速率，利用转移概率 $ u_{m,k} o m^{-3} $ 和 $ eta = 2 $。
• 基于更新理论的耦合方法提供了一个通用框架，可在不依赖显式塔构造的情况下获得精确界，优于以往方法。
• 结果证实，对于这些系统，$ n^{-1} $ 衰减速率是最优的，解决了混沌台球统计力学领域长期存在的猜想。