[论文解读] Optimal component labeling algorithms for mesh-connected computers and VLSI

Quentin F. Stout|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Digital Image Processing Techniques参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了在网格互连计算机和VLSI架构上计算连通分量和最小生成森林（MSF）的最优算法。通过递归粗化与基于空间填充曲线排序的分层树标记，该算法在二维网格上实现Θ(√n)时间，在d维网格上实现Θ(n¹ᐟᵈ)时间，与该模型中此类问题的理论下界完全匹配。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G$ of $n$ weighted edges, stored one edge per processor in a square mesh of $n$ processors, we show how to determine the connected components and a minimal spanning forest in $Θ(\sqrt{n})$ time. More generally, we show how to solve these problems in $Θ(n^{1/d})$ time when the mesh is a $d$-dimensional cube, where the implied constants depend upon $d$.

研究动机与目标

• 设计适用于网格互连架构的连通分量与最小生成森林（MSF）计算的最优并行算法。
• 应对日益重要的能效型大规模芯片设计需求，其中通信距离限制了性能表现。
• 在网格模型中实现连通分量标记与MSF的渐近最优时间复杂度，与已知下界完全一致。
• 将二维网格的结果扩展至d维网格架构，实现可扩展的性能表现。

提出的方法

• 采用递归Boruvka风格粗化：在每次迭代中，每个顶点选择其最小权重的关联边，形成一棵树的森林。
• 应用空间填充曲线排序（如Hilbert曲线），以在Θ(√n)时间内实现网格上边的高效排序与路由。
• 通过局部邻居比较与基于标签的路由，构建指向根节点的有向子树，完成树的标记。
• 通过自底向上的方式在2ⁱ×2ⁱ子网格中合并，利用祖先追踪技术高效确定根标签。
• 在粗化后，递归求解子网格上的MSF问题，减少边的数量，实现子问题规模的缩减。
• 通过将粗化步骤增加至2d+1步，将算法扩展至d维网格，以确保顶点数量的充分减少。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在网格互连计算机上以最优时间复杂度计算连通分量与最小生成森林？
• RQ2 在具有n条边的d维网格上，连通分量标记与MSF的最小时间复杂度是多少？
• RQ3 如何将递归粗化与分层树标记方法适配至网格模型，以实现最优性能？
• RQ4 该算法能否在保持最优时间复杂度的前提下扩展至d维网格？

主要发现

• 在√n×√n的网格互连计算机上，最小生成森林与连通分量可于Θ(√n)时间内计算完成。
• 该算法实现了最优时间复杂度，与网格模型中该问题的已知下界完全一致。
• 对于d维网格，时间复杂度为Θ(n¹ᐟᵈ)，常数依赖于d，且算法仍保持最优性。
• 空间填充曲线排序的使用使得边在网格上的高效排序与路由成为可能，时间复杂度为Θ(√n)。
• 递归粗化每轮至少使顶点数减半，经过五轮粗化后，边数减少至不超过n/8。
• 树标记阶段通过在子网格中采用分层祖先追踪，在Θ(√n)总时间内确定根标签，从而实现高效的连通分量标记。