[论文解读] Optimal condition for blow-up of the critical $L^q$ norm for the semilinear heat equation

Noriko Mizoguchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 37被引用 4

一句话总结

该论文证明，在 $ p>1 $ 和光滑区域 $ \Omega $ 的一般条件下，半线性热方程 $ u_t = \Delta u + |u|^{p-1}u $ 的解的临界 $ L^{q^*} $ 范数发生爆破，当且仅当解发生类型 I 爆破。证明结合了相似变量、尺度变换、抛物方程的后向唯一性和唯一延拓性，解决了长期悬而未决的问题，表明该条件在已知具有有界临界范数的类型 II 爆破解的前提下本质上是最优的。

ABSTRACT

We shed light on a long-standing open question for the semilinear heat equation $u_t = Δu + |u|^{p-1} u$. Namely, without any restriction on the exponent $p>1$ nor on the smooth domain~$Ω$, we prove that the critical $L^q$ norm blows up whenever the solution undergoes {\it type~I~blow-up.} A~similar property is also obtained for the local critical $L^q$ norm near any blow-up point. In view of recent results of existence of type~II blow-up solutions with bounded critical $L^q$ norm, which are counter-examples to the open question, our result seems to be essentially the best possible result in general setting. This close connection between type I blow-up and critical $L^q$ norm blow-up appears to be a completely new observation. Our proof is rather involved and requires the combination of various ingredients. It is based on analysis in similarity variables and suitable rescaling arguments, combined with {\it backward uniqueness and unique continuation properties} for parabolic equations. As a by-product, we obtain the nonexistence of self-similar profiles in the critical $L^q$ space. Such properties were up to now only known for $ p \le p_S $ and in radially symmetric case for $ p > p_S $, where $ p_S $ is the Sobolev exponent.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的问题：当半线性热方程的解发生爆破时，其临界 $ L^{q^*} $ 范数是否必然发生爆破。
• 在一般 $ p>1 $ 和光滑区域下，建立类型 I 爆破是临界 $ L^{q^*} $ 范数爆破的必要且基本充分的条件。
• 通过将结果与已知的类型 II 爆破解（其 $ L^{q^*} $ 范数有界）相联系，证明该结果的最优性。
• 证明临界 $ L^{q^*} $ 空间中不存在自相似解形，将已知结果从 Sobolev 指标 $ p_S $ 之外的范围扩展。
• 在相似变量框架下进行精细化分析，利用后向唯一性和唯一延拓性，建立爆破准则。

提出的方法

• 通过变量替换 $ v(s,y) = (T-t)^{\beta} u(t,x) $，其中 $ s = -\log(T-t) $，$ y = x/(T-t)^\beta $，将半线性热方程转化为相似变量形式。
• 应用尺度变换方法分析解在爆破时刻附近的行为，重点关注爆破点附近的局部 $ L^{q^*} $ 范数。
• 利用抛物方程的后向唯一性，排除在爆破时间之后某区域中解恒为零的非平凡解。
• 利用唯一延拓性质（例如来自 [17] 的结果），将解在某区域中为零的性质延拓至整个定义域。
• 结合抛物方程的正则性估计和环形区域中的统一有界性，从类型 I 爆破下 $ L^{q^*} $ 范数有界的假设导出矛盾。
• 分析尺度变换后解的渐近行为，并利用临界空间 $ L^{q^*} $ 的结构，其中 $ q^* = N(p-1)/2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当半线性热方程的解发生类型 I 爆破时，其临界 $ L^{q^*} $ 范数是否必然发生爆破？
• RQ2 是否存在类型 II 爆破解使得 $ L^{q^*} $ 范数一致有界？若存在，这对 $ L^{q^*} $ 范数爆破条件的必要性有何影响？
• RQ3 在一般区域和所有 $ p>1 $ 的情况下，类型 I 爆破是否为临界 $ L^{q^*} $ 范数爆破的必要且充分条件？
• RQ4 后向唯一性和唯一延拓性在排除临界 $ L^{q^*} $ 空间中自相似解形中起什么作用？
• RQ5 是否可以在已知的 $ p \leq p_S $ 或径向对称性之外的情况下，证明 $ L^{q^*} $ 空间中不存在自相似解形？

主要发现

• 对于任意 $ p>1 $ 和光滑区域 $ \Omega $，临界 $ L^{q^*} $ 范数发生爆破当且仅当解发生类型 I 爆破。
• 该结果在如下意义上是最优的：已知的类型 II 爆破解（例如在 [46]、[12] 中）具有统一有界的 $ L^{q^*} $ 范数，表明类型 I 爆破是 $ L^{q^*} $ 范数爆破的必要条件。
• 本文证明了临界 $ L^{q^*} $ 空间中不存在自相似解形，将先前仅限于 $ p \leq p_S $ 或径向对称性的结果推广至更广范围。
• 在任意爆破点附近，局部临界 $ L^{q^*} $ 范数在类型 I 爆破下也发生爆破，确认了该准则的局部性质。
• 证明依赖于相似变量、尺度变换、后向唯一性和唯一延拓性的一种新颖组合，建立了爆破类型与 $ L^{q^*} $ 行为之间的新联系。
• 该结果在 $ p>1 $ 和区域几何结构上均无限制，因此是 $ L^{q^*} $ 范数爆破的普遍且精确的准则。