[论文解读] Optimal consumption and investment under transaction costs

David Hobson, Alex S. L. Tse+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文针对单一风险资产模型下的Merton最优消费与投资问题，在成比例交易成本条件下提供了完整的解决方案。通过一种新颖的降阶技术，将哈密顿-雅可比-贝尔曼方程简化为一阶自由边界问题，作者表明最优策略——以无交易楔形表征——仅依赖于由模型参数构成的二次型，且解的结构由该二次型在关键点处的取值与斜率决定。

ABSTRACT

In this article we consider the Merton problem in a market with a single risky asset and transaction costs. We give a complete solution of the problem up to the solution of a free-boundary problem for a first-order differential equation, and find that the form of the solution (whether the problem is well-posed, whether the problem is well-posed only for large transaction costs, whether the no-transaction wedge lies in the first, second or fourth quadrants) depends only on a quadratic whose co-efficients are functions of the parameters of the problem, and then only through the value and slope of this quadratic at zero, one and the turning point. We find that for some parameter values and for large transaction costs the location of the boundary at which sales of the risky asset occur is independent of the transaction cost on purchases. We give both a mathematical and financial reason for this phenomena.

研究动机与目标

• 为单一风险资产设定下带有成比例交易成本的Merton问题提供完整的解析解。
• 通过一种新颖的降阶技术，将二阶哈密顿-雅可比-贝尔曼方程重新表述为一阶自由边界问题。
• 以模型参数导出的单一二次函数形式，表征最优无交易楔形（买入与卖出边界）。
• 建立无交易边界的比较静态分析，证明其依赖于二次型在零、一及拐点处的行为。
• 证明当交易成本较大时，卖出边界独立于买入交易成本，并提供数学与金融两方面的解释。

提出的方法

• 通过将解本身作为自变量，将二阶HJB方程转化为一阶常微分方程，实现降阶。
• 定义非线性算子 L(x, f, f) 以表示该常微分方程，其中 f(x) 表示变换坐标下的值函数。
• 通过迭代逼近 (fn) 和单调收敛性，建立解 f 的存在性与连续性，并由依赖于参数的系数导出边界。
• 基于系数函数 a(x, f) 在 f 上的利普希茨性质，利用比较论证证明解的唯一性。
• 通过渐近分析确定解在零附近的性质，表明 lim_{x↓0} x^{-2}η(x) = b(0)/A(0)，且 η′(0) = 0。
• 应用相空间分析与积分条件，识别正确的自由边界解，将其与财富空间中的无交易楔形联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优无交易楔形的结构（即其位于财富空间的第一、第二或第四象限）如何依赖于模型参数？
• RQ2 什么决定了问题在所有交易成本水平下都适定，或仅在成本较高时适定？
• RQ3 当成本较大时，为何卖出边界会独立于买入交易成本？其背后的数学与金融机制是什么？
• RQ4 自由边界问题的解是否能通过单一二次函数表征？其在关键点处的取值与斜率如何决定解的形式？
• RQ5 所提出的原始方法相较于以往的对偶法或影子价格法，在可解释性与比较静态分析方面有何简化作用？

主要发现

• 最优策略完全由模型参数导出的单一二次函数表征，解的定性行为仅取决于该二次型在零、一及拐点处的取值与斜率。
• 当交易成本较大时，卖出边界的确定独立于买入交易成本，该现象在数学上由常微分方程的结构解释，在金融上由最低交易频率要求解释。
• 自由边界问题的解唯一且连续可微，且满足 lim_{x↓0} x^{-2}η(x) = b(0)/A(0)，意味着 η′(0) = 0。
• 该方法将复杂的原始HJB问题简化为可处理的一阶常微分方程，为基于椭圆或双曲线相图的先前方法提供了更简洁的替代方案。
• 作者建立了无交易边界的比较静态分析，表明其随风险规避程度、资产溢价率与波动率的变化而发生位移。
• 分析确认，仅当二次型在关键点处的斜率与取值满足特定条件时，解才适定，而这些条件决定了楔形位于财富空间的第一、第二或第四象限。