[论文解读] Optimal Control for Nonlinear Hybrid Systems via Convex Relaxations

Pengcheng Zhao, Shankar Mohan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Robotic Locomotion and Control参考文献 33被引用 19

一句话总结

本文提出一种基于凸松弛的算法，用于求解具有状态依赖切换的非线性混合系统全局最优控制问题。通过将问题提升到测度空间并求解一系列半定规划，该方法单调收敛至真实全局最优解，在基准问题（包括主动SLIP模型）中，其收敛性和全局最优性优于基于梯度的方法。

ABSTRACT

This paper considers the optimal control for hybrid systems whose trajectories transition between distinct subsystems when state-dependent constraints are satisfied. Though this class of systems is useful while modeling a variety of physical systems undergoing contact, the construction of a numerical method for their optimal control has proven challenging due to the combinatorial nature of the state-dependent switching and the potential discontinuities that arise during switches. This paper constructs a convex relaxation-based approach to solve this optimal control problem. Our approach begins by formulating the problem in the space of relaxed controls, which gives rise to a linear program whose solution is proven to compute the globally optimal controller. This conceptual program is solved by constructing a sequence of semidefinite programs whose solutions are proven to converge from below to the true solution of the original optimal control problem. Finally, a method to synthesize the optimal controller is developed. Using an array of examples, the performance of the proposed method is validated on problems with known solutions and also compared to a commercial solver.

研究动机与目标

• 解决具有状态依赖切换和不连续性的非线性混合系统全局最优控制挑战。
• 克服现有方法依赖固定切换序列或局部优化的局限性。
• 开发一种无需预先知晓切换序列的全局收敛数值方法。
• 提供一种计算上可行的框架，通过凸松弛求解混合最优控制问题。

提出的方法

• 在测度空间中以松弛控制形式表述混合最优控制问题，将其转化为无限维线性规划。
• 构建一系列有限维半定规划松弛（P_k），从下方单调收敛至真实最优代价。
• 利用矩表示法和平方和技术近似基于测度的线性规划。
• 应用Lasserre层次法生成越来越紧的最优代价下界。
• 从松弛解中开发控制器综合方法，以恢复可行控制输入。
• 在已知最优解的主动SLIP模型上验证该方法，并与GPOPS-II进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸松弛方法能否实现具有状态依赖切换的非线性混合系统全局最优？
• RQ2 随着松弛阶数增加，半定规划层次的收敛行为如何？
• RQ3 该方法在全局最优性和解质量方面能否优于基于梯度的求解器（如GPOPS-II）？
• RQ4 该方法在处理具有未知或复杂切换序列的问题（如主动SLIP模型）时表现如何？
• RQ5 随着松弛阶数增加，计算成本与解精度之间的权衡如何？

主要发现

• 在最大化垂直位移的主动SLIP模型中，2k=8松弛阶数下，该方法得到代价-0.5754，收敛于真实全局最优解。
• 2k=8时，该方法耗时约12,290秒，而GPOPS-II仅耗时1,453秒，但返回的代价更高（更差）为-0.5735。
• 在v=0.1的跟踪问题中，2k=8时该方法代价为0.2165，显著优于GPOPS-II的0.2657。
• 随着松弛阶数增加，解质量单调提升，表明从下方收敛至真实最优代价。
• 仿真结果证实，从松弛解合成的控制器可实现可行且接近最优的轨迹。
• 该方法成功识别出复杂切换序列（如跟踪任务中8次切换），且无需预先知晓切换序列。