[论文解读] Optimal control of a nonconvex perturbed sweeping process

Tan H. Cao, Boris S. Mordukhovich|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用 3

一句话总结

本论文通过离散逼近和广义微分方法，为非凸扰动旁路过程的最优控制建立了必要的最优性条件。它证明了离散解的强收敛性，并为具有非凸、近似凸集和控制项同时存在于扰动与集合动力学中的系统，推导出完整且仅依赖于问题数据的最优性条件——这对具有真实几何约束的平面人群运动建模至关重要。

ABSTRACT

The paper concerns optimal control of discontinuous differential inclusions of the normal cone type governed by a generalized version of the Moreau sweeping process with control functions acting in both nonconvex moving sets and additive perturbations. This is a new class of optimal control problems in comparison with previously considered counterparts where the controlled sweeping sets are described by convex polyhedra. Besides a theoretical interest, a major motivation for our study of such challenging optimal control problems with intrinsic state constraints comes from the application to the crowd motion model in a practically adequate planar setting with nonconvex but prox-regular sweeping sets. Based on a constructive discrete approximation approach and advanced tools of first-order and second-order variational analysis and generalized differentiation, we establish the strong convergence of discrete optimal solutions and derive a complete set of necessary optimality conditions for discrete-time and continuous-time sweeping control systems that are expressed entirely via the problem data.

研究动机与目标

• 为由非凸旁路过程驱动的不连续微分包含问题，提出一类新型最优控制问题，其内在具有状态约束。
• 将现有控制理论扩展至同时控制运动集合与扰动的系统，特别是在非凸（近似凸）设定下。
• 解决非多面体、非凸旁路过程中缺乏最优性条件的问题，此类问题对真实人群运动建模至关重要。
• 利用离散逼近与变分分析，构建一个稳健的分析框架，以处理具有不连续动力学与状态约束的问题。
• 推导出完全以问题数据表达的必要最优性条件，从而可直接应用于现实世界系统（如人群动力学）。

提出的方法

• 采用构造性离散逼近方法，以处理旁路过程的不连续性，并确保离散解强收敛于连续解。
• 应用一阶与二阶变分分析及广义微分的先进工具，分析问题的非光滑、非凸结构。
• 利用近似凸性概念建模虽非凸但仍可进行良好分析的运动集合，从而超越凸多面体的限制。
• 通过离散逼近方案推导必要最优性条件，确保其完全以问题数据（如控制、动力学、约束）表达。
• 证明离散最优控制问题的适定性，并在适当假设下建立其强收敛于连续问题的性质。
• 在离散设定中运用拉格朗日乘子法与伴随变量，推导出完整的最优性条件，随后转移至连续情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非凸、近似凸运动集合，且控制输入同时作用于集合动力学与加法扰动的旁路过程，制定最优控制问题？
• RQ2 在非凸设定下，何种适当的离散逼近方案可确保强收敛于连续旁路过程？
• RQ3 如何为这种非标准、不连续且带状态约束的最优控制问题，推导出必要最优性条件？
• RQ4 近似凸性在实现非凸旁路集合在最优控制中分析方面起到何种作用？
• RQ5 所推导的最优性条件能否完全以问题数据表达，而无需引入额外未知量或变量变换？

主要发现

• 离散最优解强收敛于连续最优解，验证了该类问题离散逼近方法的有效性。
• 推导出一组完整的必要最优性条件，完全以问题数据（包括控制、动力学与约束）表达，无需依赖未知的伴随变量。
• 在双粒子人群运动示例中，当粒子间距离为正（η₁₂ > 0）时，最优代价约为45.9，而当η₁₂ = 0时为66.49，表明动态协调情形更具优势。
• 最优控制策略使两粒子在[0,6]区间内保持恒定速度，且控制输入满足关系a₁ = 2a₂（当η₁₂ > 0时），该关系由最优性条件导出。
• 最优轨迹被显式计算，并验证其满足状态约束与控制界r₁ ≤ ||u(t)|| ≤ r₂，确认了解的可行性。
• 该方法成功处理了内在状态约束与不连续动力学，为人群运动建模等应用中的非凸旁路过程提供了稳健分析框架。