[论文解读] Optimal control of a phase field system of Caginalp type with fractional operators

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文研究了具有谱意义下分数阶微分算子的Caginalp型相场系统的分布式最优控制。建立了控制到状态映射的Fréchet可微性，并通过伴随系统和变分不等式推导出一阶必要最优性条件，为具有分数阶扩散的非守恒、非等温相变提供了理论基础。

ABSTRACT

In their recent work ``Well-posedness, regularity and asymptotic analyses for a fractional phase field system'' (Asymptot. Anal. 114 (2019), 93--128), two of the present authors have studied phase field systems of Caginalp type, which model nonconserved, nonisothermal phase transitions and in which the occurring diffusional operators are given by fractional versions in the spectral sense of unbounded, monotone, selfadjoint, linear operators having compact resolvents. In this paper, we complement this analysis by investigating distributed optimal control problems for such systems. It is shown that the associated control-to-state operator is Fréchet differentiable between suitable Banach spaces, and meaningful first-order necessary optimality conditions are derived in terms of a variational inequality and the associated adjoint state variables.

研究动机与目标

• 研究具有谱意义下分数阶扩散算子的Caginalp相场系统的最优控制问题。
• 将先前关于分数阶相场系统适定性和正则性的结果扩展至最优控制框架。
• 针对带有控制约束的追踪型代价泛函，推导一阶必要最优性条件。
• 在适当的Banach空间之间建立控制到状态算子的Fréchet可微性。
• 通过伴随系统和涉及伴随变量的变分不等式，刻画最优控制。

提出的方法

• 为具有无界、自伴、单调算子的分数阶幂的Caginalup型相场系统，制定分布式最优控制问题。
• 采用带有状态和控制系数的追踪型代价泛函，并通过 $ u \in U_{\text{ad}} $ 对控制施加框约束。
• 应用控制到状态算子将控制映射到状态系统的解，并证明其Fréchet可微性。
• 推导反向时间的伴随系统，涉及对偶变量 $ q $、$ p $ 和拉格朗日乘子 $ \Lambda $。
• 通过涉及伴随变量和控制的变分不等式，建立一阶最优性条件。
• 在Sobolev和Lebesgue空间中使用紧致性和弱收敛论证，实现正则化问题中的极限传递。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有分数阶扩散的Caginalup相场系统制定最优控制？
• RQ2 对于带有状态和控制约束的此类控制问题，其必要的一阶最优性条件是什么？
• RQ3 在分数阶算子背景下，控制到状态映射是否具有Fréchet可微性？
• RQ4 伴随变量和变分不等式如何刻画最优控制？
• RQ5 能否在正则化问题的极限下推导出最优性系统，并确保收敛至原系统？

主要发现

• 与分数阶Caginalup系统相关的控制到状态算子在适当的Banach空间之间具有Fréchet可微性。
• 一阶必要最优性条件以涉及伴随状态变量的变分不等式形式被推导出来。
• 伴随系统由 $ q $ 的反向演化方程、$ p $ 的状态方程以及涉及拉格朗日乘子 $ \Lambda $ 的变分不等式组成。
• 最优控制满足变分不等式 $ \int_Q (q + \beta_5 u)(u - \bar{u}) \geq 0 $，对所有允许的控制 $ \bar{u} \in U_{\text{ad}} $ 成立。
• 通过在适当函数空间中的弱收敛和强收敛，建立了正则化解的收敛性，确保极限满足最优性系统。
• 在双势阱势能（正则、对数或双障碍）的标准假设下，结果成立，且在非光滑情况下对次微分进行了适当处理。