[论文解读] Optimal Control of Closed Quantum Systems via B-Splines with Carrier Waves

N. Anders Petersson, Fortino Garcia|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2021

Numerical methods for differential equations被引用 13

一句话总结

本论文提出一种基于载波波的B样条参数化方法，用于闭合量子系统的最优控制，实现了超导量子五态（qudit）中高效量子门合成。通过使用B样条调制共振载波频率来编码控制脉冲，该方法显著减少了控制参数数量，同时保持了精度，在与QuTiP和Grape-TensorFlow的对比中表现出更优的性能。

ABSTRACT

We consider the optimal control problem of determining electromagnetic pulses for implementing logical gates in a closed quantum system, where the Hamiltonian models the dynamics of coupled superconducting qudits. The quantum state is governed by Schrödinger's equation, which we formulate in terms of the real and imaginary parts of the state vector and solve by the Störmer-Verlet scheme, which is a symplectic partitioned Runge-Kutta method. A novel parameterization of the control functions based on B-splines with carrier waves is introduced. The carrier waves are used to trigger the resonant frequencies in the system Hamiltonian, and the B-spline functions specify their amplitude and phase. This approach allows the number of control parameters to be independent of, and significantly smaller than, the number of time steps for integrating Schrödinger's equation. We present numerical examples of how the proposed technique can be combined with an interior point L-BFGS algorithm for realizing quantum gates, and generalize our approach to calculate risk-neutral controls that are resilient to noise in the Hamiltonian model. The proposed method is also shown to compare favorably with QuTiP/pulse\_optim and Grape-Tensorflow.

研究动机与目标

• 解决在大量时间步长下闭合量子系统中高维最优控制的挑战。
• 开发一种控制场参数化方法，显著减少优化变量数量而不损失精度。
• 通过嵌入B样条包络中的载波波，实现在超导量子五态中目标跃迁的共振激发。
• 通过风险中性控制设计提升对哈密顿噪声的鲁棒性。
• 在量子门合成中，性能优于现有工具如QuTiP和Grape-TensorFlow。

提出的方法

• 使用载波波调制的B样条对控制场进行参数化，以编码振幅、相位和共振频率成分。
• 通过实部与虚部状态向量分量的截断薛定谔方程建模量子系统，并采用Störmer-Verlet辛龙格-库塔格式求解。
• 采用薛定谔方程的矩阵形式演化求解算符 $ U(t;m{ heta}) $，其中 $ U(0) = U_0 $，并追踪其在关键子空间中的演化。
• 将目标门保真度 $ ilde{f J}_1 $ 定义为基于最终求解算符与目标门 $ V_{tg} $ 之间的Frobenius内积的代价函数。
• 引入中间时间目标 $ ilde{f J}_2 $，以惩罚受保护子空间中的布居数，防止因希尔伯特空间截断引起的虚假非线性。
• 将B样条载波波参数化与内点法L-BFGS优化器结合，求解ODE约束优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于载波波的B样条参数化是否能在保持超导量子五态中高保真度量子门实现的前提下，显著减少控制参数数量？
• RQ2 载波波的引入在具有离散能级的量子系统中如何提升共振激发与控制效率？
• RQ3 中间时间目标函数在多大程度上缓解了因希尔伯特空间截断引起的误差？
• RQ4 与QuTiP和Grape-TensorFlow等成熟工具相比，该方法在性能和收敛速度方面表现如何？
• RQ5 从该框架中导出的风险中性控制策略是否能提升对哈密顿模型不确定性的鲁棒性？

主要发现

• 基于载波波的B样条参数化显著减少了控制参数数量，远低于时间积分所用的时间步长数。
• 该方法实现了高保真度的量子门合成，数值示例中目标门保真度 $ ilde{f J}_1 $ 降低至 $ 10^{-6} $ 以下。
• 引入中间时间目标 $ ilde{f J}_2 $ 有效抑制了受保护子空间中的布居数，降低了截断引起的误差。
• 在基准仿真中，该方法在收敛速度和最终门保真度方面均优于QuTiP/pulse_optim和Grape-TensorFlow。
• 从框架中导出的风险中性控制设计在噪声敏感性分析中验证了其对哈密顿模型不确定性的鲁棒性提升。
• Störmer-Verlet格式保持了薛定谔方程的辛结构，确保了长时间积分的稳定性和精度。