[论文解读] Optimal Control of Hybrid Systems Using a Feedback Relaxed Control Formulation

Tyler Westenbroek, Humberto González|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Advanced Control Systems Optimization参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于连续轨迹混合系统的最优控制的反馈松弛控制公式，将域约束整合到非线性规划框架中。通过使用集合值反馈控制律，根据连续状态禁用离散模式，该方法能够高效求解混合最优控制问题，同时准确捕捉滑动模态现象和类似Zeno的行为。

ABSTRACT

We present a numerically tractable formulation for computing the optimal control of the class of hybrid dynamical systems whose trajectories are continuous. Our formulation, an extension of existing relaxed-control techniques for switched dynamical systems, incorporates the domain information of each discrete mode as part of the constraints in the optimization problem. Moreover, our numerical results are consistent with phenomena that are particular to hybrid systems, such as the creation of sliding trajectories between discrete modes.

研究动机与目标

• 解决具有连续轨迹的混合系统最优控制问题的数值求解挑战，这类问题由于存在Zeno执行和非光滑动力学等现象而难以处理。
• 克服现有最优性条件的局限性，这些条件排除了Zeno或非轨道稳定轨迹，而这些在实际应用中很常见。
• 开发一种计算上可行的框架，通过整合与模式相关的域约束，将松弛控制理论扩展到混合系统。
• 通过基于状态依赖约束动态禁用离散模式的反馈规则，实现对最优轨迹（包括滑动模态）的精确近似。
• 提供一种实用的数值实现，将混合最优控制问题转化为标准非线性规划问题，以实现高效计算。

提出的方法

• 将混合系统表述为元组 $\mathcal{H} = (\mathcal{X}, \mathcal{I}, \mathcal{D}, \mathcal{U}, \mathcal{F})$，其中 $\mathcal{X}$ 为连续状态空间，$\mathcal{I}$ 为离散模式集合，$\mathcal{D}_i$ 为每个模式 $i$ 的定义域，$\mathcal{U}$ 为控制输入集合，$\mathcal{F}$ 为各模式下的向量场。
• 引入一种松弛控制公式，允许在不同模式之间对向量场进行凸组合，从而实现离散模式之间的连续过渡。
• 通过互补条件引入模式禁用机制：仅当 $d_i(x) \leq 0$ 时，离散模式 $i$ 才被激活，其中 $d_i$ 定义了模式 $i$ 的定义域。
• 使用一种反馈规则，将当前连续状态 $x(t)$ 映射到一组允许的离散模式，从而有效构建基于状态的切换逻辑。
• 利用标准数值求解器（如 SNOPT）将所得最优控制问题转化为非线性规划问题。
• 应用投影算子 $\mathcal{P}_N$ 和近似映射 $\mathcal{F}_N$，从松弛解中恢复离散混合轨迹，支持收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将松弛控制公式扩展到具有连续轨迹的混合系统，以实现最优控制问题的数值求解？
• RQ2 如何将离散模式的域约束嵌入最优控制框架中，以确保物理和操作上的可行性？
• RQ3 所提出的方法能否准确捕捉混合系统中常见的滑动模态行为及其他非光滑现象？
• RQ4 与传统切换系统方法相比，基于反馈的模式禁用规则在多大程度上提升了数值可处理性和收敛性？
• RQ5 当通过投影和近似算子重建时，松弛解在多大程度上能近似真实混合最优轨迹？

主要发现

• 所提出的公式成功计算了具有连续轨迹的混合系统的最优控制轨迹，包括滑动模态等复杂行为。
• 该方法通过将问题转化为标准非线性规划问题，实现了高效的数值求解，可使用现成求解器（如 SNOPT）求解。
• 在直升机示例中，安全模式 $S$ 仅在靠近障碍物时被激活，展示了有效的基于状态的模式选择。
• 仿真耗时 201 秒，使用 $N=100$ 个时间样本，表明该方法在实时或嵌入式应用中具有计算可行性。
• 使用 $N=12$ 的 $\mathcal{F}_N$ 和 $\mathcal{P}_N$ 进行近似，生成的混合轨迹与松弛最优轨迹高度吻合，表明收敛速度快。
• 结果证实，反馈松弛控制公式能够准确捕捉滑动轨迹和类似Zeno的行为，即使这些行为被传统最优性条件所排除。