[论文解读] Optimal Control of Longitudinal Motions for an Elastic Rod with Distributed Forces

Georgy Kostin, Alexander Gavrikov|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2022

Elasticity and Wave Propagation被引用 5

一句话总结

本文提出了一种均匀弹性杆在分布力和边界力作用下纵向振动最优控制的精确解析解。通过采用行波建模并将问题重新表述为弱形式，作者利用一维变分法推导出显式的最优控制律和动态场，实现最小化平均能量存储，且可控时间由可解性条件确定。

ABSTRACT

The study is devoted to mathematical modeling and optimal control design of longitudinal motions of a rectilinear elastic rod. The control inputs are a force, which is normal to the cross section and distributed piecewise constantly along the rod's axis, as well as two external lumped loads at the ends. It is assumed that the intervals of constancy in the normal force have equal length. Given initial and terminal states with a fixed time horizon, the optimal control problem is to minimize the mean mechanical energy stored in the rod. To solve the problem, two unknown functions are introduced: the dynamical potential and the longitudinal displacements. As a result, the initial-boundary value problem is reformulated in a weak form, in which constitutive relations are given as an integral quadratic equation. The unknown functions are both continuous in the new statement. For the uniform rod, they are found as linear combinations of traveling waves. In this case, all conditions on continuity as well as boundary, initial, and terminal constraints form a linear algebraic system with respect to the traveling waves and control functions. The minimal controllability time is found from the solvability condition for this algebraic system. After resolving the system, remaining free variables are used to optimize the cost functional. Thus, the original control problem is reduced to a one-dimensional variational problem. The Euler-Lagrange necessary condition yields a linear system of ordinary differential equations with constant coefficients supplemented by essential and natural boundary conditions. Therefore, the exact optimal control law and the corresponding dynamic and kinematic fields are found explicitly. Finally, the energy properties of the optimal solution are analyzed.

研究动机与目标

• 为具有分布力和边界力的均匀弹性杆的纵向运动开发精确的解析解最优控制方法。
• 在给定初始和终端条件下，最小化固定时间范围内杆中存储的平均机械能。
• 利用基于波的公式，确定任意初始和终端状态下的最小可控时间。
• 通过行波分解，将分布参数最优控制问题简化为一维变分问题。
• 利用线性代数和欧拉-拉格朗日方程，提供最优控制输入、位移和内力的显式表达式。

提出的方法

• 引入两个未知的连续函数：动力势和纵向位移，将初边值问题重新表述为弱形式。
• 将分布力建模为在 N 个等长区段上分段常数，控制输入表示为这些区段上的时变函数。
• 使用时空网格，将连续性、边界、初始和终端条件表示为行波振幅的线性代数系统。
• 对于均匀杆，将位移和势能表示为行波的线性组合，从而实现系统的精确求解。
• 通过将问题简化为一维变分问题并利用具有混合（本质与自然）边界条件的欧拉-拉格朗日方程，推导出最优控制律。
• 通过控制积分 u_k(t) 的一阶导数重构控制输入 f_k(t)，其为时间的连续且分段光滑函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分布力和边界力控制下，将均匀弹性杆从给定初始状态驱动至指定终端状态所需的最短时间是多少？
• RQ2 分布参数弹性杆的最优控制问题能否被简化为一个可解析求解的一维变分问题？
• RQ3 空间分段数（N）和时间离散化数（M）如何影响系统的最小平均能量？
• RQ4 最优控制输入和动态场的解析结构在行波表达下如何呈现？
• RQ5 随着控制单元数的增加，最优解的能量特性如何变化？

主要发现

• 最小可控时间由基于波的连续性和边界约束导出的线性代数系统的可解性条件决定。
• 最优控制输入被显式推导为分段光滑函数，其在 t = 0.5、1 和 1.5 处存在间断点（当 T = 2 时）。
• 最优能量泛函 T·E(M,N) 随 M 和 N 增加而单调递减，且随 M 增加的递减速率在几步后趋于可忽略。
• 当 N = 2 时，最优能量值在所有 M ≥ 2 下保持不变，表明空间离散化存在饱和效应。
• 随着 N 增加，映射 T·E(2,N) 似乎趋于一个极限值，表明系统趋近于连续分布控制的极限。
• 最优位移 v(t,x) 在 t = 2 时达到零且能量为零，证实了状态完全转移至终端条件。