[论文解读] Optimal control of steady second grade fluids with a Navier-slip boundary condition

Nadir Arada, Fernanda Cipriano|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了由具有斯拉夫滑移边界条件的稳态二阶流体方程控制的最优控制问题的必要最优性条件。证明了当粘弹性参数 α → 0 时，最优解收敛于纳维-斯托克斯最优控制问题的解，且在极限下恢复其最优性条件。

ABSTRACT

In this paper, we first investigate necessary optimality conditions for problems governed by systems describing the flow of an incompressible second grade fluid. Next, we study the asymptotic behavior of the optimal solution when the viscoelastic parameter tends to zero, and prove that the corresponding sequence converges to a solution of an optimal control problem governed by the Navier-Stokes equations whose optimality conditions are recovered by passage to the limit.

研究动机与目标

• 推导由具有斯拉夫滑移边界条件的稳态不可压缩二阶流体方程控制的最优控制问题的必要最优性条件。
• 分析当粘弹性参数 α 趋近于零时最优解的渐近行为。
• 严格证明二阶流体最优解的极限对应于由纳维-斯托克斯方程控制的最优控制问题的解。
• 通过在二阶流体系统中取极限，恢复纳维-斯托克斯控制问题的最优性条件。

提出的方法

• 使用包含速度场、粘度 ν 和粘弹性参数 α₁、α₂ 的本构方程来构建二阶流体模型，其中约束条件为 α₁ + α₂ = 0。
• 推导控制方程的强形式：一个涉及材料导数、粘性项和非线性对流项以及压力的非线性PDE系统，并引入正则化项 −αΔy。
• 施加斯拉夫滑移边界条件：法向速度为零，切向应力消失，通过边界上的法向量和切向量表示。
• 应用变分方法和弱形式推导控制问题的一阶最优性条件。
• 利用紧致性论证和Sobolev嵌入，在状态方程和伴随方程中令 α → 0 时取极限。
• 使用Korn不等式和迹估计，控制分析中由斯拉夫滑移边界条件引起的边界项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在斯拉夫滑移边界条件下，稳态二阶流体最优控制问题的必要最优性条件是什么？
• RQ2 当粘弹性参数 α 趋近于零时，二阶流体最优控制问题的最优解如何行为？
• RQ3 二阶流体最优解的极限是否对应于由纳维-斯托克斯方程控制的最优控制问题的解？
• RQ4 是否可以通过二阶流体最优性系统的趋于零极限，恢复纳维-斯托克斯控制问题的最优性条件？
• RQ5 斯拉夫滑移边界条件在收敛性分析和解的正则性中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了具有斯拉夫滑移边界条件的稳态二阶流体最优控制问题的必要最优性条件。
• 当粘弹性参数 α → 0 时，二阶流体问题最优解的序列收敛于由纳维-斯托克斯方程控制的最优控制问题的解。
• 极限过程保持了最优性系统的结构，且在极限下恢复了纳维-斯托克斯问题的必要最优性条件。
• 收敛性在适当的Sobolev空间中建立，状态变量和伴随变量分别以 H¹ 和 L² 范数收敛。
• 通过涉及法向和切向投影的精细估计，分析了斯拉夫滑移边界条件引入的几何复杂性。
• 在热力学一致的约束 ν > 0、α ≥ 0 和 α₁ + α₂ = 0 下，结果成立，确保了物理解释的一致性。