[论文解读] Optimal control of the coefficient for fractional and regional fractional {$p$}-{L}aplace equations: Approximation and convergence

Harbir Antil, Mahamadi Warma|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过正则化技术克服算子退化问题，建立了具有系数控制的分数阶及区域分数阶 $p$-拉普拉斯方程最优控制问题解的存在性与收敛性。关键贡献在于证明了正则化最优控制收敛于原问题的解，为未来推导一阶最优性系统奠定了基础。

ABSTRACT

In this paper we study optimal control problems with either fractional or regional fractional $p$-Laplace equation, of order $s$ and $p\in [2,\infty)$, as constraints over a bounded open set with Lipschitz continuous boundary. The control, which fulfills the pointwise box constraints, is given by the coefficient of the involved operator. To overcome the degeneracy of both fractional $p$-Laplacians, we introduce a regularization for both operators. We show existence and uniqueness of solution to the regularized state equations and existence of solution to the regularized optimal control problems. We also prove several auxiliary results for the regularized problems which are of independent interest. We conclude with the convergence of the regularized solutions.

研究动机与目标

• 解决具有系数控制的拟线性、可能退化的非局部分数阶 $p$-拉普拉斯方程最优控制的挑战。
• 通过一种新颖的正则化方法克服区域与分数阶 $p$-拉普拉斯算子的退化问题。
• 建立正则化最优控制问题解的存在性与收敛性。
• 为未来推导一阶最优性条件提供基础。

提出的方法

• 通过引入小参数 $\varepsilon$ 并利用 $\mathcal{G}_n(u,s)$ 截断梯度项，对分数阶与区域 $p$-拉普拉斯算子进行正则化。
• 在基于希尔伯特空间的 $L^2$-型目标泛函与系数 $\kappa$ 的盒约束下，定义正则化最优控制问题（ROCP）。
• 利用 $BV(\Omega)$ 中的弱*收敛与 $L^2(\Omega)$ 中的强收敛，将极限过程传递到正则化系统。
• 应用紧致性与下确界连续性论证，证明正则化问题与原问题解的存在性。
• 利用分数阶索伯列夫空间中的可分性结果及 $W_0^{s,p}(\overline{\Omega})$ 中等价范数，处理非局部情形。
• 证明正则化最优控制 $\kappa_{\varepsilon,n}^\star$ 沿 $\varepsilon \to 0$ 与 $n \to \infty$ 收敛于原最优控制问题的解 $\kappa_\star$。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有系数控制的退化分数阶 $p$-拉普拉斯方程最优控制问题是否适定？
• RQ2 正则化如何克服区域与分数阶 $p$-拉普拉斯算子的退化问题？
• RQ3 正则化最优控制问题的解是否收敛于原问题的解？
• RQ4 基于 $L^2$ 的目标泛函在非局部拟线性问题的收敛性分析中起什么作用？
• RQ5 该收敛框架能否推广至 $0 < s < 1$ 的非局部分数阶 $p$-拉普拉斯算子？

主要发现

• 通过 $BV(\Omega)$ 中的弱*紧致性与 $L^2(\Omega)$ 中的强收敛，建立了正则化最优控制问题解的存在性。
• 由于正则化引入的非退化性，正则化状态方程具有唯一解。
• 正则化最优控制 $\kappa_{\varepsilon,n}^\star$ 沿 $\varepsilon \to 0$ 与 $n \to \infty$ 收敛于原最优控制问题的解 $\kappa_\star$。
• 通过下极限与上极限估计验证了目标泛函的收敛性，表明 $\mathbb{I}(\kappa_\star, u_\star) = \lim \mathbb{I}(\kappa_{\varepsilon,n}^\star, u_{\varepsilon,n}^\star)$。
• 结果可最小修改地推广至 $0 < s < 1$ 的非局部分数阶 $p$-拉普拉斯算子 $(-\Delta)_p^s$。
• 收敛框架为未来推导原问题的一阶最优性系统提供了可能。