[论文解读] Optimal control problem of fully coupled forward-backward stochastic systems with Poisson jumps under partial information

Qingxin Meng|ArXiv.org|Nov 17, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文在部分信息下，针对由泊松跳跃驱动的完全耦合前向-后向随机微分方程（FBSDE）的随机最优控制问题，建立了必要且充分的最大值原理。通过凸分析与对偶理论，推导出涉及扩散、跳跃和控制分量的伴随过程的最优性条件，将先前结果推广至具有不连续性、耦合性及部分观测的设定。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of stochastic optimal control problem with jumps under partial information. More precisely, the controlled systems are described by a fully coupled nonlinear multi- dimensional forward-backward stochastic differential equation driven by a Poisson random measure and an independent multi-dimensional Brownian motion, and all admissible control processes are required to be adapted to a given subfiltration of the filtration generated by the underlying Poisson random measure and Brownian motion. For this type of partial information stochastic optimal control problem, we give a necessary and sufficient maximum principle. All the coefficients appearing in the systems are allowed to depend on the control variables and the control domain is convex.

研究动机与目标

• 解决控制器对基础布朗运动和泊松随机测度信息不完全的随机最优控制问题。
• 将随机最大值原理扩展至由布朗运动和泊松跳跃共同驱动的完全耦合前向-后向随机系统。
• 引入部分信息滤子，其中控制过程适应于子滤子，以反映现实世界中的信息约束。
• 将现有关于带跳跃的前向SDEs及无跳跃的完全耦合FBSDEs的最大值原理结果进行推广。
• 为在部分观测下具有非线性、多维及不连续性的随机控制系统提供统一的最优性条件框架。

提出的方法

• 使用由d维布朗运动和泊松随机测度驱动的完全耦合前向-后向随机微分方程（FBSDE）来表述最优控制问题。
• 引入一个伴随前向-后向系统，包含对偶过程 $\hat{p}_t$, $\hat{q}_t$, $\hat{k}_t$, $\hat{\beta}_t(e)$, 和 $\hat{r}_t(\cdot)$，以表示协态变量。
• 应用凸分析与对偶理论，推导出哈密顿函数 $H(t, \cdot)$，其将前向与后向方程的系数与伴随过程相结合。
• 通过变分不等式推导必要条件，表明哈密顿函数关于控制 $v$ 的导数的期望必须为零。
• 通过证明：若哈密顿函数在控制上是凸的，且伴随过程满足伴随方程，则候选控制是最优的，从而建立充分条件。
• 使用伊藤公式与伊藤-迈尔公式处理跳跃与扩散分量，确保在 $L^2$ 可积性条件下，随机积分具有零期望。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将随机最大值原理扩展至在部分信息下具有跳跃的完全耦合前向-后向SDEs？
• RQ2 在控制器对布朗运动与泊松跳跃生成的滤子信息不完全时，最优性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 扩散、跳跃与控制分量的伴随过程在该类系统的最优性条件中如何相互作用？
• RQ4 与连续或解耦情形相比，泊松跳跃的引入以及前向与后向分量之间的完全耦合如何改变最优性条件的结构？
• RQ5 当滤子非右连续或不完备时，是否可不依赖动态规划原理推导出最大值原理？

主要发现

• 本文在部分信息下，针对具有泊松跳跃的完全耦合前向-后向随机系统，建立了必要且充分的最大值原理。
• 最优性条件由条件 $\mathbb{E}[\nabla_v H(t, \cdot) | \varepsilon_t] = 0$ 表征，其中 $H$ 为包含伴随过程的哈密顿函数。
• 伴随过程 $\hat{p}_t$, $\hat{q}_t$, $\hat{k}_t$, $\hat{\beta}_t(e)$, 与 $\hat{r}_t(\cdot)$ 满足一个耦合前向与后向动态的后向随机微分方程系统。
• 结果推广了先前工作：当无跳跃时，结果退化为Meng（2009）的情形；当无后向分量时，退化为Baghery与Øksendal（2008）的情形。
• 该框架将非耦合、一维的FBSDEs带跳跃的情形（Oksendal与Sulem，2008）作为特例涵盖在内，因为完全耦合系统包含了他们的设定。
• 推导依赖于 $L^2$ 可积性条件（4.3）–（4.10），以确保随机积分的鞅性质，这对对偶论证至关重要。