[论文解读] Optimal Control Theory on almost-Lie Algebroids

Michał Jóźwikowski|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文在近李代数丛上发展了最优控制理论，将经典最优控制推广至放松李代数丛可积性条件的几何结构。通过在此框架下表述庞特里亚金最大值原理，作者利用近李代数丛上的哈密顿形式，推导出最优性的必要条件，将变分方法扩展至非可积几何设定。

ABSTRACT

We extend the Pontryagin Maximum Principle (PMP) to the geometric setting of almost-Lie (AL) algebroids -- objects which generalize Lie algebroids. The result may be understood as a very general reduction scheme for optimal control problems (OCPs). It covers the standard PMP, as well as gives necessary optimality conditions for symmetric OCPs on Lie groups, principal bundles, and Lie groupoids. We do not assume the symmetry of boundary conditions. The ideas are based on a very general concept of homotopy of admissible paths on AL algebroids. Our framework works for OCPs with fixed-end-points and general boundary conditions.

研究动机与目标

• 将最优控制理论扩展至近李代数丛的几何设定，近李代数丛通过放松雅克比恒等式而推广李代数丛。
• 在近李代数丛的语境下表述庞特里亚金最大值原理，提供最优性的必要条件。
• 将变分原理与哈密顿动力学推广至力学与控制中出现的非可积几何结构。
• 建立一个适用于奇异性或非正则几何结构的最优控制框架，其中标准李代数丛理论不适用。

提出的方法

• 利用近李代数丛的锚映射与括号运算，形式化控制系统动力学。
• 在近李代数丛的对偶丛上定义哈密顿函数，以描述系统的能量与演化。
• 即使雅克比恒等式不成立，也通过近李代数丛结构推导出哈密顿向量场。
• 在此几何设定中应用庞特里亚金最大值原理，以获得最优性的必要条件。
• 利用余伴从作用与对偶配对，将控制变量与代数丛的动量空间关联。
• 建立极值曲线与对偶丛上哈密顿系统解之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 庞特里亚金最大值原理如何推广至定义在近李代数丛上的系统？
• RQ2 在由非可积几何结构控制的控制系统中，最优性的必要条件是什么？
• RQ3 近李代数丛中雅克比恒等式的失效如何影响最优控制律的表述？
• RQ4 哈密顿形式能否在近李代数丛上一致地扩展至变分与控制问题？
• RQ5 对偶丛与余伴从轨道在近李代数丛上最优控制的几何结构中起什么作用？

主要发现

• 庞特里亚金最大值原理成功推广至近李代数丛，为具有非可积几何约束的系统提供了最优性的必要条件。
• 即使雅克比恒等式不成立，近李代数丛对偶丛上的哈密顿向量场仍定义良好，从而可应用哈密顿方法。
• 最优轨迹对应于由代数丛结构与控制约束导出的哈密顿向量场的积分曲线。
• 对偶丛上的余伴从作用在刻画控制系统中的守恒量与对称性方面起着关键作用。
• 该框架允许分析在经典李代数丛理论不适用的奇异性或非正则几何结构上的控制系统。
• 该理论在非可积设定中为最优控制与变分原理提供了几何统一。