[论文解读] Optimal Controller and Actuator Design for Nonlinear Parabolic Systems

M. Sajjad Edalatzadeh, Kirsten Morris|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 62被引用 4

一句话总结

本文通过基于哈密顿量的必要条件，利用一阶最优性条件，建立了非线性抛物系统（包括 Kuramoto-Sivashinsky 方程和非线性热方程）最优控制器与执行器存在的理论。关键贡献在于提出了一套理论框架，用于在一般非线性条件下、无需系统稳定性假设的前提下，实现控制器与执行器位置的协同最优设计。

ABSTRACT

Many physical systems are modeled by nonlinear parabolic differential equations, such as the Kuramoto-Sivashinsky (KS) equation. In this paper, the existence of a concurrent optimal controller and actuator design is established for semilinear parabolic systems. Optimality equations are provided. The results are shown to apply to optimal controller/actuator design for the Kuramoto-Sivashinsky equation and also nonlinear diffusion.

研究动机与目标

• 为一般类别的非线性分布参数系统缺乏最优执行器设计的理论结果提供解决方案。
• 在最小假设条件下，建立半线性抛物系统中控制器与执行器协同最优设计的存在性。
• 推导半线性抛物系统中控制输入与执行器位置联合优化的一阶必要最优性条件。
• 通过消除对系统稳定性假设的需求，将现有线性PDE控制理论扩展至非线性系统。
• 展示该理论框架在Kuramoto-Sivashinsky方程和非线性热方程等物理上相关的方程中的适用性。

提出的方法

• 在具有抛物线性部分的半线性抛物系统背景下，于抽象的巴拿赫空间设定中表述控制问题。
• 应用拉格朗日乘子法，通过哈密顿量形式推导一阶最优性条件。
• 采用李雅普诺夫函数方法，在条件 $\zeta F(\zeta) \leq 0$ 下证明输入-状态稳定性，确保解的有界性。
• 推导代价泛函 $J = \int_0^\tau \|w\|^2_{L^2(\Omega)} dt + \int_0^\tau \|u\|^2 dt$ 的伴随系统，该系统决定最优性条件。
• 推导最优性系统，包括状态方程、伴随方程、控制公式 $u^o(t) = -\int_\Omega r^o(\xi) f^o(\xi,t) d\xi$ 以及执行器约束 $\int_0^\tau u^o(t) f^o(\xi,t) dt = 0$。
• 通过拉格朗日乘子条件 $f^o(\xi,0) + \mu w_0(\xi) = 0$ 考虑最坏初始条件，其中单位球约束为 $\|w_0\|_{H^1_{\Gamma_0}(\Omega)} = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设系统稳定性的前提下，一般非线性抛物系统是否存在最优控制器与执行器设计？
• RQ2 半线性抛物系统中，控制器与执行器协同设计的一阶必要最优性条件是什么？
• RQ3 在状态空间的单位球内，如何确定最优控制性能下的最坏初始条件？
• RQ4 该理论框架能否应用于Kuramoto-Sivashinsky方程和非线性热方程等具体非线性PDE？
• RQ5 非线性项的何种结构条件可确保在最优控制下解的有界性与适定性？

主要发现

• 在自然假设（包括输入算子的弱连续性与线性部分的强制性）下，证明了半线性抛物系统中最优控制器与执行器设计的存在性。
• 通过伴随系统与哈密顿量形式，推导出一阶最优性条件，得到包含显式控制与执行器公式在内的状态方程与伴随方程耦合系统。
• 对于非线性热方程，条件 $\zeta F(\zeta) \leq 0$ 确保了输入-状态稳定性，并保证了解范数有界：$\|w(\tau)\|^2 \leq \|w_0\|^2 + \frac{4}{c_\Omega} \|u\|^2_{L^2(0,\tau)} \|r\|^2_{\mathbb{K}}$。
• 最优控制为 $u^o(t) = -\int_\Omega r^o(\xi) f^o(\xi,t) d\xi$，且执行器位置 $r^o$ 满足对所有 $\xi \in \Omega$ 有 $\int_0^\tau u^o(t) f^o(\xi,t) dt = 0$ 的约束。
• 在 $H^1_{\Gamma_0}(\Omega)$ 单位球中的最坏初始条件满足 $f^o(\xi,0) + \mu w_0(\xi) = 0$，其中 $\mu$ 为强制约束 $\|w_0\|_{H^1_{\Gamma_0}(\Omega)} = 1$ 的拉格朗日乘子。
• 该理论框架成功应用于 Kuramoto-Sivashinsky 方程与非线性热方程，证明了其在物理上重要的PDE中的广泛适用性。