[论文解读] Optimal decay for the compressible Navier-Stokes equations without additional smallness assumptions

Zhouping Xin, Jiang Xu|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用 12

一句话总结

该论文在不假设初始数据低频部分大小的条件下，建立了 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上可压缩纳维-斯托克斯方程全局解的最优时间衰减速率。通过在 $L^p$-临界框架下发展一种纯能量论证，并利用非标准的 $L^p$ 乘积估计，证明了解的 $\dot{B}^0_{p,1}$-范数以 $t^{-\frac{d}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}) - \frac{\sigma_1}{2}}$ 的速率衰减，其中 $\sigma_1 \in (1 - \frac{d}{2}, 2\frac{d}{p} - \frac{d}{2}]$ 控制了初始密度和速度在贝索夫空间中的正则性。

ABSTRACT

This work is concerned with the large time behavior of solutions to the barotropic compressible Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^{d}(d\geq2)$. Precisely, it is shown that if the initial density and velocity additionally belong to some Besov space $\dot{B}^{-σ_1}_{2,\infty}$ with $σ_1\in (1-d/2, 2d/p-d/2]$, then the $L^p$ norm (the slightly stronger $\dot{B}^{0}_{p,1}$ norm in fact) of global solutions admits the optimal decay $t^{-\frac{d}{2}(\frac 12-\frac 1p)-\frac{σ_1}{2}}$ for $t ightarrow+\infty$. In contrast to refined time-weighted approaches ([11,43]), a pure energy argument (independent of the spectral analysis) has been developed in more general $L^p$ critical framework, which allows to remove the smallness of low frequencies of initial data. Indeed, bounding the evolution of $\dot{B}^{-σ_1}_{2,\infty}$-norm restricted in low frequencies is the key ingredient, whose proof mainly depends on non standard $L^p$ product estimates with respect to different Sobolev embeddings. The result can hold true in case of large highly oscillating initial velocities.

研究动机与目标

• 推导 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上可压缩纳维-斯托克斯方程全局解的最优时间衰减速率。
• 消除以往方法中对初始数据低频部分小量假设的依赖。
• 在 $L^p$-临界框架下仅使用能量方法建立衰减估计，避免使用谱分析或时间加权技术。
• 通过在一般 $L^p$-临界设定下结合贝索夫空间正则性，处理大且高度振荡的初始速度。

提出的方法

• 发展一种独立于谱分析的纯能量论证，避免依赖时间加权能量估计或精细时间加权方法。
• 提出一种新方法，以控制受限于低频的 $\dot{B}^{-\sigma_1}_{2,\infty}$-范数的演化。
• 利用源自不同索伯列夫嵌入的非标准 $L^p$ 乘积估计，以控制低频贡献。
• 使用 dyadic 分解和频率局部化，在贝索夫空间框架下分离低频与高频部分。
• 应用 Lyapunov 型不等式，推导解的低频部分的衰减估计。
• 建立 $\dot{B}^\sigma_{p,1}$-范数之间的嵌入与插值不等式，以将衰减从低频传递到高频。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设初始数据低频部分小量的前提下，为可压缩纳维-斯托克斯方程建立最优时间衰减速率？
• RQ2 在无小量假设下，全局解的 $L^p$-范数的精确衰减速率是什么？
• RQ3 如何通过纯能量方法替代时间加权或谱分析技术来推导衰减估计？
• RQ4 在衰减框架中，能在多大程度上容纳大且高度振荡的初始速度？
• RQ5 正则性参数 $\sigma_1$ 在确定衰减速率中起什么作用，它与贝索夫空间中初始数据的关系如何？

主要发现

• 当 $t \to \infty$ 时，全局解的 $\dot{B}^0_{p,1}$-范数以 $t^{-\frac{d}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}) - \frac{\sigma_1}{2}}$ 的速率衰减，该结果在给定假设下为最优。
• 该衰减速率是精确的，与热核的预期行为一致，证实了系统的耗散性质。
• 该方法通过能量估计控制 $\dot{B}^{-\sigma_1}_{2,\infty}$-范数，消除了对初始数据低频部分小量的依赖。
• 即使初始速度较大且高度振荡，只要其属于指定的贝索夫空间，结果依然成立。
• 证明依赖于非标准的 $L^p$ 乘积估计和贝索夫空间中的插值，避免使用谱分析或时间加权技术。
• 衰减估计对 $\sigma_1 \in (1 - \frac{d}{2}, 2\frac{d}{p} - \frac{d}{2}]$ 成立，该范围推广了可接受初始正则性的范围。