[论文解读] Optimal decremental connectivity in planar graphs

Jakub Łącki, Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在平面图中实现退化连通性的最优 $O(n)$ 时间算法，实现常数时间的连通性查询。通过使用递归 $r$-划分，将退化问题转化为一系列小型增量连通性问题，并预先计算大小为 $O("log^2 "log n)$ 个顶点的极小图的连通分量标识符，该方法避开了动态生成树的维护，实现了线性总更新时间，与树结构的最优已知时间界完全一致。

ABSTRACT

We show an algorithm for dynamic maintenance of connectivity information in an undirected planar graph subject to edge deletions. Our algorithm may answer connectivity queries of the form `Are vertices $u$ and $v$ connected with a path?' in constant time. The queries can be intermixed with any sequence of edge deletions, and the algorithm handles all updates in $O(n)$ time. This results improves over previously known $O(n \log n)$ time algorithm.

研究动机与目标

• 为填补平面图中退化连通性与增量连通性之间的差距，此前人们认为退化连通性需要 $O(n\log n)$ 时间。
• 开发一种线性时间算法，用于在平面图中维护边删除下的连通性，优于完全动态算法的先前 $O(n\log n)$ 界。
• 证明平面图中的退化连通性严格优于完全动态连通性，后者已知每操作存在 $\Omega(\log n)$ 的下界。
• 提供从退化连通性到小规模增量连通性实例的归约，从而实现对小图的高效预计算连通分量标识符。

提出的方法

• 该算法使用递归 $r$-划分，将平面图划分为大小为 $O(\log^2 n)$ 的子图，确保各层级的总大小保持在 $O(n)$。
• 通过利用已知的此类情况下的线性时间解法，将退化连通性问题归约为维护一组总大小为 $O(n)$ 的小规模增量图的连通性。
• 对于大小为 $t = O(\log^2 \log n)$ 的图，该算法预计算所有可能图状态和显式顶点集下的所有连通分量标识符。
• 每个状态被编码为长度为 $O(\log^4 \log n)$ 的二进制字，可容纳于单个机器字中，从而实现常数时间的状态转移与查询。
• 边删除通过在状态字中翻转一位来处理，且所有可能边删除的连通分量标识符更新均已预计算。
• 该算法为一组顶点 $V_e$ 显式维护连通分量标识符，通过存储 $V_e$ 中每个顶点的标识符，实现 $O(1)$ 查询时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将平面图中退化连通性的总更新时间降低至 $O(n\log n)$ 以下，以匹配增量连通性的最优界？
• RQ2 是否可以通过避免维护动态生成树，实现平面图中退化连通性的 $O(n)$ 总更新时间？
• RQ3 尽管完全动态变体存在每操作 $\Omega(\log n)$ 的下界，平面图中的退化连通性问题是否具有比完全动态变体更低的总更新时间？
• RQ4 是否可以构建一种从退化连通性到增量连通性的归约，使得小图的预计算成为可能，从而实现最优总时间？

主要发现

• 本文实现了平面图中所有边删除处理的最优 $O(n)$ 总时间，显著优于先前的 $O(n\log n)$ 界。
• 连通性查询以 $O(1)$ 时间响应，且显式集合 $V_e$ 中顶点的连通分量标识符被显式维护。
• 该算法使用基于递归 $r$-划分的归约，确保子问题总大小保持在 $O(n)$，且归约带来的额外开销仅为 $O(n)$。
• 对大小为 $O(\log^2 \log n)$ 的图预计算所有可能连通分量标识符是可行的，因为状态数为 $2^{O(\log^4 \log n)} = 2^{o(\log n)} = o(n)$，可在 $o(n)$ 时间内完成。
• 该方法避免了生成树的维护，从而消除了删除后寻找替代边的需要。
• 结果表明，平面图中的退化连通性严格优于完全动态连通性，后者每操作存在 $\Omega(\log n)$ 的下界。