[论文解读] Optimal Deferred Life Annuities to Minimize the Probability of Lifetime Ruin

Erhan Bayraktar, Virginia R. Young|ArXiv.org|Mar 29, 2007

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文确定了投资者在投资风险资产和无风险资产的同时延迟购买生命年金，以最小化终身破产概率的最优策略。关键发现是，只有当个人拥有足够财富覆盖年金开始支付前的所有消费时，才会购买递延年金，从而确保在递延期内不会面临破产。

ABSTRACT

We find the minimum probability of lifetime ruin of an investor who can invest in a market with a risky and a riskless asset and can purchase a deferred annuity. Although we let the admissible set of strategies of annuity purchasing process to be increasing adapted processes, we find that the individual will not buy a deferred life annuity unless she can cover all her consumption via the annuity and have enough wealth left over to sustain her until the end of the deferral period.

研究动机与目标

• 确定最小化死亡前财富耗尽概率的最优投资与递延年金购买策略。
• 分析递延年金的存在对随机金融市场中最优投资组合配置与破产规避的影响。
• 在可投资于风险与无风险资产的前提下，建立个人购买递延年金的条件。
• 将先前关于即期年金的研究扩展至递延年金情形，尤其聚焦于最小化破产概率。
• 证明最优策略涉及一个财富阈值水平，超过该水平后购买递延年金变得最优。

提出的方法

• 将问题表述为随机控制问题，其中财富在风险资产（几何布朗运动）和无风险资产（无风险利率 r）的共同作用下演化。
• 将个人的消费设定为恒定净消费率 c，寿命建模为失效率为 λ^S 的指数随机变量。
• 使用验证引理，将最小化破产概率表征为自由边界问题的解。
• 通过勒让德变换将破产最小化问题转化为等价的最优停止问题。
• 利用投影逐次超松弛法（projected SOR）等数值方法求解所得变分不等式，边界条件在递延期结束时定义。
• 通过价值函数的导数推导出在风险资产上的最优投资策略，显示在自由边界处存在不连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，投资者会购买递延年金以最小化终身破产概率？
• RQ2 当递延年金可用时，风险与无风险资产的最优投资策略如何变化？
• RQ3 在何种财富阈值水平下，购买递延年金变得最优？
• RQ4 递延年金的存在如何影响递延期内避免破产所需的财富安全水平？
• RQ5 能否通过转化为最优停止问题来计算最小终身破产概率？

主要发现

• 个人仅在财富达到特定阈值 w̄(A,t) 时才会购买递延年金，该阈值可确保其覆盖年金开始支付前的所有消费。
• 若财富低于该阈值，则最优策略为不购买任何递延年金，因为个人更倾向于保留对风险资产潜在收益的敞口。
• 在达到阈值 w̄(A,t) 之前，最小破产概率关于财富呈凸性，超过该水平后破产概率降为零。
• 在阈值 w̄(A,t) 处，对风险资产的最优投资呈现不连续性，反映出风险敞口策略的转变。
• 数值结果证实，当递延年金可用时，破产概率更低，尤其对中等财富水平的投资者更为显著。
• 随着年金支付日的临近，安全财富水平 w̄(A,t) 随时间递减，表明当财富充足时，购买的紧迫性增加。