[论文解读] Optimal distributed control of a nonlocal Cahn-Hilliard/Navier-Stokes system in 2D

Sergio Frigeri, Elisabetta Rocca+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 22被引用 16

一句话总结

本论文证明了二维非局部Cahn–Hilliard/Navier–Stokes系统存在最优分布式控制，并通过伴随方法推导出一阶必要最优性条件，该系统用于建模不可压缩不混溶流体中具有非局部相互作用的相分离。分析基于近期建立的适定性结果，利用伴随系统与变分不等式，通过投影公式刻画最优控制。

ABSTRACT

We study a diffuse interface model for incompressible isothermal mixtures of two immiscible fluids coupling the Navier--Stokes system with a convective nonlocal Cahn--Hilliard equation in two dimensions of space. We apply recently proved well-posedness and regularity results in order to establish existence of optimal controls as well as first-order necessary optimality conditions for an associated optimal control problem in which a distributed control is applied to the fluid flow.

研究动机与目标

• 建立二维空间中非局部Cahn–Hilliard/Navier–Stokes系统最优分布式控制的存在性。
• 推导涉及流体速度与相变量的分布式控制问题的一阶必要最优性条件。
• 将最优控制分析拓展至具有卷积型相互作用的非局部模型，此类模型在长程分子力作用下的相分离中具有物理相关性。
• 为具有非局部Cahn–Hilliard方程与$oldsymbol{ u}$-依赖粘度的扩散界面模型提供严谨的最优控制分析框架。
• 填补文献空白，提供该非局部系统完整、非时间离散化的最优控制分析，与以往依赖时间离散化或数值格式的研究形成对比。

提出的方法

• 本研究采用非局部Cahn–Hilliard/Navier–Stokes系统，将Navier–Stokes方程与对流型非局部Cahn–Hilliard方程耦合于有界二维区域。
• 控制以分布力$oldsymbol{v}$的形式施加于动量方程，作用于流体速度场。
• 分析依赖于近期建立的状态系统适定性与正则性结果，确保强解的存在性与唯一性。
• 通过形式变分法推导伴随系统，引入速度与相变量的对偶变量$oldsymbol{p}$与$q$。
• 利用变分不等式刻画最优控制，导出涉及伴随状态与控制边界条件的$L^2(Q)^2$空间中的投影公式。
• 推导过程涉及分部积分、核$K$的对称性，以及对边界条件与适当函数空间中弱形式的细致处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$oldsymbol{ u}$-依赖粘度条件下，二维非局部Cahn–Hilliard/Navier–Stokes系统是否存在最优分布式控制？
• RQ2 该最优控制问题的一阶必要最优性条件是什么？
• RQ3 最优控制如何通过伴随状态与控制约束表征？
• RQ4 非局部Cahn–Hilliard方程的非局部性能否在不进行时间离散化的情况下严格纳入最优控制框架？
• RQ5 最优控制是否由对可行控制集的投影公式表征，这对数值实现意味着什么？

主要发现

• 本文证明了在二维非局部Cahn–Hilliard/Navier–Stokes系统中，至少存在一个最优控制$oldsymbol{v} o oldsymbol{v} \text{ in } L^2(Q)^2$，属于可行集。
• 一阶必要最优性条件以涉及伴随状态$oldsymbol{p}$与控制差$oldsymbol{v} - oldsymbol{\bar{v}}$的变分不等式形式导出。
• 最优控制$oldsymbol{\bar{v}}$由投影公式刻画：$oldsymbol{\bar{v}} = \text{Proj}_{\boldsymbol{\nu}_{ad}}\big(-\frac{1}{\beta}\boldsymbol{p}\big)$，其中$eta$为正参数。
• 当$eta > 0$时，最优控制满足逐点投影条件：$\bar{v}_i(x,t) = \text{max}\big\brace{v_{a,i}(x,t), \text{min}\big\brace{-\beta^{-1}p_i(x,t), v_{b,i}(x,t)}\big\brace\big\brace$ a.e. in $Q$。
• 通过核$K$的对称性，分析严格处理了非局部项$K * \rho$，使得伴随推导中可进行对称的分部积分。
• 结果适用于光滑双阱势$F$，且粘度$ \nu(\rho)$允许依赖于相变量$ \rho$，增强了物理真实性。