[论文解读] Optimal Dividends for a Two-Dimensional Risk Model with Simultaneous Ruin of Both Branches

Philipp Lukas Strietzel|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2022

Probability and Risk Models参考文献 19被引用 1

一句话总结

本文研究了一种二维退化风险模型下的最优股利分配问题，其中某一业务分支可能出现负盈余，将偿付能力扩展至 R²\R²<0。证明了最优值函数满足哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，且为最小的粘性解，并在特定条件下，最优策略可简化为一维障碍控制策略。通过蒙特卡洛模拟和具有明确障碍水平的数值示例进行了验证。

ABSTRACT

We consider the optimal dividend problem in the so-called degenerate bivariate risk model under the assumption that the surplus of one branch may become negative. More specific, we solve the stochastic control problem of maximizing discounted dividends until simultaneous ruin of both branches of an insurance company by showing that the optimal value function satisfies a certain Hamilton&amp;ndash;Jacobi&amp;ndash;Bellman (HJB) equation. Further, we prove that the optimal value function is the smallest viscosity solution of said HJB equation, satisfying certain growth conditions. Under some additional assumptions, we show that the optimal strategy lies within a certain subclass of all admissible strategies and reduce the two-dimensional control problem to a one-dimensional one. The results are illustrated by a numerical example and Monte Carlo simulated value functions.

研究动机与目标

• 将最优股利问题扩展至允许一个业务分支出现负盈余的二维退化风险模型。
• 将最优值函数表征为哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的最小粘性解。
• 识别最优策略属于“bang（障碍）”策略子类的条件，从而将双变量问题降维为单变量问题。
• 通过蒙特卡洛模拟和具有明确障碍水平的数值示例验证理论结果。

提出的方法

• 形式化具有复合泊松索赔和分支间比例再保险的退化双变量风险模型。
• 应用动态规划与随机控制方法，推导出控制最优值函数的HJB方程。
• 在指定的生长条件下，证明最优值函数是HJB方程的最小粘性解。
• 识别最优策略属于“bang（障碍）”策略子类的条件，从而实现维度降低。
• 使用指数分布的索赔规模，通过蒙特卡洛模拟对值函数进行数值逼近。
• 在对跨分支股利率 Λ 的不同假设下，利用先前工作的解析解计算每个分支的最优障碍水平。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在允许一个业务分支出现负盈余的二维风险模型中表述最优股利问题？
• RQ2 最优值函数是否满足哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程？若满足，其具有何种性质？
• RQ3 在何种条件下最优策略可简化为一维障碍策略，从而实现维度降低？
• RQ4 在数值示例中，每个分支的最优障碍水平如何依赖于跨分支股利率 Λ？
• RQ5 蒙特卡洛模拟能否准确逼近最优值函数并验证理论发现？

主要发现

• 在适当的生长条件下，允许同时破产的二维风险模型的最优值函数被表征为关联HJB方程的最小粘性解。
• 对于参数为 γ = 0.25, λ = 1, c1 = 2, c2 = 4, b1 = 0.25, b2 = 0.75, 且 q = 0.05 的数值示例，分支1的最优障碍位于区间 [7.00464, 10.7136] 之间，具体取决于 Λ 的取值。
• 在相同示例中，分支2的最优障碍位于区间 [10.8148, 23.7285] 之间，取决于 Λ。
• 蒙特卡洛模拟表明，当障碍水平 xb1 ≈ 8.0 时，策略 L∗1 = (Lb1, L∗2) 比当 xb2 ≈ 18.35 时的策略 L∗2 = (L∗1, Lb2) 在初始资本 (25, 25) 下产生更高的预期折现股利。
• 最优策略并非在所有初始资本状态下均全局占优；例如，在 D1 中 L∗1 优于 L∗2，而在 D2 中 L∗2 可能占优，如示例20所示。
• 在对称情形下（即 b1 = b2 且 c1 = c2），在对角线 x1 = x2 上，值函数 V∗1 与 V∗2 一致，证实了最优性能的对称性。