[论文解读] Optimal dividends problem with a terminal value for spectrally positive Levy processes

Chuancun Yin, Yuzhen Wen|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

Probability and Risk Models参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文研究了带破产时终端收益的谱正 Lévy 过程的最优股息问题，证明无论 Lévy 测度的形式如何，障碍策略始终是最优的。通过使用 scale 函数和波动理论，推导出价值函数的显式表达式，并证明最优障碍水平由涉及 scale 函数和终端值 S 的非线性方程确定。

ABSTRACT

In this paper we consider a modified version of the classical optimal dividends problem of de Finetti in which the dividend payments subject to a penalty at ruin. We assume that the risk process is modeled by a general spectrally positive Levy process before dividends are deducted. Using the fluctuation theory of spectrally positive Levy processes we give an explicit expression of the value function of a barrier strategy. Subsequently we show that a barrier strategy is the optimal strategy among all admissible ones. Our work is motivated by the recent work of Bayraktar, Kyprianou and Yamazaki (2013).

研究动机与目标

• 将破产时带终端值的最优股息问题扩展至谱正 Lévy 过程。
• 确定当引入终端收益 S 时，障碍策略是否仍是最优的，与某些先前模型中最优性失效的情况形成对比。
• 利用 scale 函数推导在障碍策略下预期折扣股息支付的显式表达式。
• 将最优障碍水平 b* 表征为涉及 scale 函数和终端值 S 的方程的解。
• 在 Lévy 测度的一般条件下，建立谱正 Lévy 过程下障碍策略的最优性。

提出的方法

• 使用谱正 Lévy 过程的波动理论分析首次 passage 时间和退出分布。
• 采用 q-scale 函数 W^{(q)} 和 Z^{(q)} 表示预期折扣股息支付和与破产相关的期望。
• 应用强马氏性质和全概率分解，用 scale 函数表示价值函数 V(b,x)。
• 推导出在障碍水平 b 处的障碍策略的价值函数 V_b(x)，区分 x ≤ b 和 x > b 两种情况。
• 通过边界条件 V’_b(b) = 1 确定最优障碍水平 b*，其由涉及 Z^{(q)}、Ψ’(0+) 和 S 的方程决定。
• 利用 Bayraktar、Kyprianou 和 Yamazaki（2013）关于一般 Lévy 测度下障碍策略最优性的结果，得出该扩展设定下的最优性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在破产时引入终端收益 S 时，障碍策略在谱正 Lévy 过程中是否仍是最优的，即使对于一般 Lévy 测度也是如此？
• RQ2 在具有终端值的障碍策略下，能否推导出预期折扣股息支付的显式表达式？
• RQ3 最优障碍水平 b* 如何精确地用 scale 函数和终端值 S 表征？
• RQ4 与 S=0 的经典情况相比，引入终端收益 S 如何影响价值函数的结构？
• RQ5 在何种条件下，障碍策略的价值函数等于整体最优价值函数 V(x)？

主要发现

• 在障碍水平 b 处的障碍策略下的价值函数显式给出为：当 0 ≤ x ≤ b 时，V_b(x) = Λ(b)Z^{(q)}(b−x) − Z̅^{(q)}(b−x) − Ψ’(0+)/q；当 x > b 时，V_b(x) = x − b + Λ(b) − Ψ’(0+)/q。
• 最优障碍水平 b* 定义为方程 ψ(b) = −Ψ’(0+)/q − S 的解，其中 ψ(b) = Z̅^{(q)}(b) + Ψ’(0+)/q。
• 若 −Ψ’(0+)/q − S > 0，则 b* = (Z̅^{(q)})^{-1}(−Ψ’(0+)/q − S)；否则 b* = 0。
• 当 −Ψ’(0+)/q − S > 0 时，最优价值函数为：当 x ≤ b* 时，V(x) = −Z̅^{(q)}(b*−x) − Ψ’(0+)/q；当 x > b* 时，V(x) = x + S。
• 当 −Ψ’(0+)/q − S ≤ 0 时，最优策略是立即支付全部盈余，导致 V(x) = x + S。
• 证明了在 b* 处的障碍策略对随机控制问题是最优的，且对所有 x ≥ 0 有 V(x) = V_{b*}(x)。